开根号的小妙招
提前声明，这个投稿几乎没有价值，因为真遇到了麻烦的开方，你一定会用计算器而不是手算，也就是说，事实上我这个投稿没什么大的价值。
平常的时候，我会把一些奇怪的想法记下来，如果是涉及到数学/物理的问题，有时候我会动手算算，记下来，仅供娱乐而已。（说实话，备考期间，除了备考什么都有意思 嘿嘿）
大概有一年多了，一年前看到一个关于如何快速开平方的视频，于是我动手研究了一下。这份手稿完成之后压在其他手稿中，直到今天。闲话少说，开始正题吧。（我还是不会用高端的符号插入和公式插入，难受）
本文研究的内容是：快速开平方的评价以及使用范围。
核心思想是：
当x足够大而Δx相对足够小时，便可忽略不计，这样我们的计算方法就来了，操作如下：
首先针对你要开方的对象，比如数字 N，你需要先找到 [
]（其中 [x]函数定义为：向下取整数），将其记为
。
计算
，将其记为
，那么最终的结果可记为:
举个例子，由计算器可知=10.39230485，带入上述式子中得到：
对比可得，确实如此，10.4≈10.39......，通过计算器计算，二者误差为0.074%，很不错的精度。
以上就是开方的使用方法。
下面讨论开方的使用范围。由于我们假定了，那么在
差距不大的时候会出现明显的误差。那么问题来了，假定我需要一个精度，那么上述的快速开方法的使用下线在哪里呢？我们现在来研究研究。
为了方便研究，我们需要事先定义几个量。
为开方对象，
，
，如此便能表示为:
。
我们再定义:，
。如此便有
定义一个精度函数，其含义为：快速开方的约数与开方的精准的数之比。显然，
即为相对误差。
很好，前置工作已经完成，现在我们的问题在于：假如我现在需要一个精度，比如最多1%的误差，那么对应的或
最小为多少？
现在取误差为1%，即
现在我们需要对精度函数进行一个展开：
这里需要提一嘴，由于快速开方的特性，所以有，各位有兴趣的小伙伴可以自己去想想为什么哦。所以对应于误差1%，我们取
（极限条件）。
解得
由于，所以舍去后面一个答案。
故
而我们也知道，
可得：
然后就得到了：
很显然，当，即左逼近时，误差会到达最大，也就是说，这又是一个极限情况，令
，此时
解得，取个整数吧，还要考虑到
是个平方数，就取
。
也就是说，当时，我们能保证快速开方法的误差保持在1%内。
让我们来演算一下吧，
%
%
%
和我们的结论有点点小出入，但是问题不大，就目前来看在时，确实能够保持1%(左右)内的误差，能用就行要啥自行车啊！
好的，问题又来了，0.1%的精度呢？更好的精度呢？我也能解决！
假设目标精度为10^t，其中t=-n, n为大于零的整数，也就是10^(-n)的误差。
取到小数点后n位，wtm直接带入！(为什么我要绕个圈子呢？因为指数符号后面只能带一个符号，而 -n 不会把n带上，就很难受)
解得
极限条件下，令,有
代入中，有
得到：
则在精度10^(-n)，即取小数点后n位的要求下，
开方数,
或者说
其中t=-n，n为大于0的整数。
很好，最重要的工作已经完成，现在就是需要代入具体的数字来一波演算（懒得算，直接给结果）。
n=2时，，取7，和上面的结论是一致的。
n=3时，，取22
现在你想要的精度你可以直接得到了，有意思吧
至于开立方么，我这写完平方之后就没写下去了，估计感觉烦了就不写了吧。但是我应该可以给出一个好的“指导”：
是开立方的整数，
，则估算值就是
如果是开k次方呢？简单！
/[
^
] (还是和上面一样的问题，我搞不来啊！)
在开k次方的情况下要求误差小于（t=-n，n为正整数）呢？简单！
直接取极限条件，令，化简可得：
可见，我们得到了一个一元k次方程，有亿点难度......
我的某个m开头数学软件罢工了，表示算不出来，那算了，我这里探讨一下解的存在性问题。
令
导一下，并令导数为0，解得：。
如果观察导函数，会发现这应该是个单调递增有零点的函数，显然：
由于题设k为正整数，所以一定有
又有 以及
，所以得到结论：
至少有两个不同的实数解。考虑到导函数的单调性，得到最终结论：
有且仅有两个不同的实数解。（当然，我这里并不想考虑复数解的存在的意义）。这一结论与前面的推导是一致的。值得注意的是，由于α>1，所以解一定取的是右边的那个解。
所以，解是肯定存在的，但是我算不出来而已。
那我就束手无策了吗？
大错特错！我不是还有python吗！！！！
编程目的：找到一个整数N，使得在使用快速开方法后满足误差在10^-n以内而整数N-1不满足。
核心思想：上面提到的算式。
输入有：开方根次k，误差度n。
以上就是代码，但是有一个问题：经过试验，当你输入的n和k稍微大一点点的时候，10000的循环上线就不够用了，你要是加大数量的话，那必然运行半年都出不来。
突然想到，这个结果是满足单调性的，因为只要满足了某一个值，那么后面的值都会满足，那么这个可以用二分枚举啊！好！来！（我不是学计算机，也不是专门学算法的，如果名字叫错了请见谅）
完成辣！但是有一个小毛病，我遇到一点bug：开二次根号任意精度都不会出问题，但是只要开三次根号就出问题，没有输出，我也不知道是为什么。
我去，从10：30码字到14：32（中间吃了个饭，代码也是现码的），整整四个小时的跨度，真刺激，午睡去了。
