线性代数知识点概括第一章
搜索公众号：潘一粟的学习笔记，回复“线性代数”获得后面的内容
目前已更新高数前两章和线代前三章（一定会在今年内更完）
1.1矩阵
矩阵：mxn个数组成的m行n列的数表，称为mxn矩阵
系数矩阵：只由线性方程组系数组成的矩阵
增广矩阵：在系数矩阵的基础上加上常数，记作A-(横在A上方)
同型矩阵：行数和列数分别相等的两个矩阵
相等矩阵：元素完全相同的两个矩阵
行向量：一个1xn矩阵
列向量：一个mx1矩阵
方阵：行数与列数相等的矩阵，n阶方阵记作An
主对角线：a11,a22,a33…即从左上角到右下角的一系列元素
对角矩阵：只有主对角线上有元素的方阵，记作diag(d1,d2,d3,…dn)
数量矩阵：主对角线上元素都相等的对角矩阵
单位矩阵：主对角线上元素都为1的对角矩阵，n阶单位矩阵记作En
三角矩阵：当方阵A的主对角线下（上）方的元素都是0时，称A为上（下）三角矩阵
对称矩阵：a i j =a j i（就是关于主对角线对称）
反对陈矩阵：a i j=- a j i
转置：将矩阵的行列互换，原来的第一行变成第一列，以此类推,记作A^T
(A^T)^T=A
负矩阵（两个矩阵之间的关系）：bij=-aij，记作-A
推论：当A=-A^T时，A为反对称矩阵。
1.2矩阵的运算
加法
A+B=B+A（交换律）
A+(B+C)=(A+B)+C（结合律）
A+O=A
一定存在B，使A+B=O
数乘
1A=A
λ(A+B)=λA+λB
(λ+μ)A=λA+μA
λ(μA)=(λμ)A
乘法（C=AB）
1.只有A的列数等于B的行数时，AB才有意义（从行列数的角度来看，乘法就是mxn X nxq=mxq）
2.计算方式：C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵的第j列的对应元素乘积的和
一般来说：AB≠BA（注：若满足AB=BA，那么C一定是对称矩阵）
存在A≠O,BO，但AB=O的情况
推论：AB=AC不能得到B=C
乘法规律有以下几条：
1.（AB）C=A（BC）
2.λ（AB）=（λA）B=A（λB）
3.A（B+C）=AB+AC,（B+C）A=BA+CA
4.（A+B）^T=A^T+B^T,（λA）^T=λA^T,(AB)^T=B^TA^T（注意反过来了）
A^m记作A的m次方幂，A^0=En
1.3矩阵的分块
分块矩阵的原理很简单，类似于中学的视作整体法，所以不赘述，讲一个该节的结论
AA^T=O的充分必要条件是A=O
1.4方阵的行列式（detA）
只有方阵有行列式，行列式是数
排列：由1~n的n个数排成的有序数组（一个数只出现一次）
12……n称为自然排列
逆序：观察任意两个数，如果前面的数大于后面的数，即为逆序
逆序数：一个排列逆序的数量，记作τ（i1i2i3……in）
奇排列：逆序数为奇数的排列，偶排列同理
对换：交换两个数的位置
定理1：排列经过一次对换后其奇偶性改变
定理2：任一排列可由自然排列n次对换得来，且n与τ（i1i2i3……in）的奇偶性相同
行列式定义为数Σ（-1）^τ（i1i2i3……in）x a1j1a2j2a3j3……anjn
看公式很容易看不懂，大致来说就是在每一行取一个元素（不能多去）相乘，再乘以这些元素列数组成的逆序数，最后把所有情况相加，这种方法着实难算，基本只用于123阶方阵
二阶行列式=a11a22-a12a21
三阶行列式=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33
三角矩阵的行列式就是主对角线元素相乘
推论：detA=det(A^T)
行列式性质：
1.若方阵有两行（列）相同或成比例，则detA=0
2.detE=1
3.方阵A有零行，则detA=0
矩阵的初等行变换：倍乘变换，倍加变换，交换变换
定理3
detA(kri)=kdetA（倍乘变换）
detA(rj+kri)=detA（倍加变换）
detA(ri↔rj)= -detA（交换变换）
通过初等变换可以把矩阵化成上下三角形式，这样计算行列式只要对角线相乘就可以了
推论 det kA=kⁿdet A(这个在后面简化求特征值的时候会用到)
余子式：元素aij的余子式指方阵划去aij所在行和列后形成的新的矩阵的行列式，记作Mij
代数余子式Aij=(-1)^(i+j)Mij
计算行列式的方法2：行列式等于某一行的元素与其代数余子式乘积之和
例如四阶矩阵，我们可以通过初等变换，把第一行变成1 0 0 0，这样就可以降阶变成求三阶行列式。
推论 一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零
k阶子方阵：n阶方阵中位于第i1,…ik行（k≤n）和第j1,…jk列交叉处的元素按照它们在A中的相对位置构成的方阵。其行列式为detA的一个k阶子式
该概念可以看作，原来的余子式是原方阵去掉了一个1x1的元素，而现在可以去掉2x2及以上的元素，剩下来的也可以看作余子式
Laplace定理：任意取定行列式的某k行，位于这些行上的所有可能的C(k,n)个k阶子式与各自的代数余子式乘积之和，等于原行列式
定理4 detAB=detAdetB
范德蒙德行列式：第n行是第二行的n-1次方，detA=Π（ai-aj）（i>j）
1.5逆矩阵
对于矩阵A，如果存在B，使AB=BA=E，则称A可逆，记B=A^(-1)，为A的逆矩阵；否则就称A不可逆（注意，只由AB=BA，推不出可逆，必须要等于E）
定理1 逆矩阵唯一
只有A为方阵时才讨论可逆性
E的逆矩阵是他本身
定理2 若A可逆，则AB=AC可以推出B=C
伴随矩阵：伴随矩阵看图反而容易看错，跟着我的口述画图理解更佳。即矩阵A的每一个元素对应的代数余子式按原来的对应位置排列，这时候还不是伴随矩阵，再将该矩阵转置一下，这才是伴随矩阵。很多同学忘记转置了，所以就会错误。
伴随矩阵记作A*
定理3 AA*=A*A=丨A丨E（若detA=1,A*也是可逆矩阵）
所以，A^(-1)=A*/detA
推论 若A可逆，则det A^(-1)=1/detA
另外 detA*=（detA）^(n-1)
（AB）^(-1)=B^(-1)A^(-1)，这个形式与之前的转置十分类似
A可逆则A^T也可逆
1.6矩阵的初等变换
初等变换之前已经讲过了
阶梯形矩阵:1.零行在非零行的下面2.每个非零行的第一个非零元素（主元）位于上一行的第一个主元的右边。
如果把阶梯形矩阵左下角的0看作台阶，它就是一级一级向下向右的
行最简形矩阵：在阶梯形矩阵矩阵的基础上，每行的主元为1，且主元所在列的其余元素都为0
标准形矩阵：左上角为单位矩阵，其余元素全为0
定理1 任意矩阵均可通过初等变换变为标准形矩阵
引理：若方阵A与B等价（即可以通过初等变换相互变）则A可逆当且仅当B可逆
换句话说，初等变换不改变矩阵的可逆性
定理2 矩阵可逆当且仅当其行最简形矩阵是单位矩阵
推论 方阵A可逆当且仅当它是有限个初等矩阵的乘积
也就是左乘行变右乘列变，例如ABC，A矩阵如何从单位矩阵行变换变来的，这些行变换就会映射到B身上，C是如何从单位矩阵列变换变来的，这些列变换也会映射到B身上
求逆矩阵的新办法，将矩阵(A,E)通过行变换变为（E,A^（-1））
解矩阵方程AX=B的方法：1.X=A^(-1)B
2.A^（-1）(A,B)=(E,A^(-1)B)，就是对（A,B）进行初等行变换，变成(E,A^(-1)B)，去掉左边的单位矩阵，右边的就是解
1.7矩阵的秩
矩阵的秩：矩阵A的不等于零的子式的最高阶数，记作rank(A)
基本结论：
1.若A是mxn矩阵，则秩≤min{m,n}
2.n阶方阵可逆当且仅当rank(A)=n
3.rank(A)=rank(A^T)
引理：阶梯形矩阵的秩等于其非零行的个数
定理1：初等变换不改变矩阵的秩
定理2：两个同型矩阵等价当且仅当它们秩相等
相关性质：
1.rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}
2.若AmxnBnxl=O,则rank(A)+rank(B)≤n
3.max{rank(A),rank(B)}≤rank(A,B)≤rank(A)+rank(B)
4.rank（A+B）≤rank(A)+rank(B)
线性方程组有解的判定定理：设n元线性方程组的增广矩阵为A▔
1.无解当且仅当rank(A)<rank(a▔)< span="">
2.有唯一解当且仅当rank(A)=rank(A▔)=n
3.有无穷多解当且仅当rank(A)=rank(A▔)<n< span="">
自由未知量：可以自由取值的未知量，只有rank(A)<n时才会出现，其它未知量都可以由自由未知量表示，无穷多解时自由未知量个数为n-rank(a)< span="">
齐次线性方程组一定有零解，当rank(A)=n时只有零解。若为方阵，则detA≠0时只有零解
这样就有了解齐次线性方程基本步骤：
1.写出增广矩阵，用虚线隔开未知量系数和常数，这样就能同时处理两个矩阵了
2.初等行变换化为行最简形矩阵
3.重新写成方程组的形式，右边都是自由未知量。具体怎么写呢？以第一行为例，如果第一行是10010，就先写成x1+x4=0，再把左边只保留x1（主元），变成x1=-x4，每一行都这么处理，显然x4是自由未知量
4.自由未知量依次取值，比如自由未知量有x1,x2,x3。那么就依次取值为(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1),得到若干列向量，每个前面乘以一个系数kn，再相加即可
非齐次线性方程的解法只要在最后一步做出一点修改，添加一个不乘以系数的自由未知量全取0的常数列向量就可以了，最后是一个经典的解=特解+齐次版本的通解形式，这个形式在微分方程也会涉及
克拉默法则：
方程个数与未知数个数相同可用
设A=aij是n阶方阵，则n元线性方程组AX=β有唯一解当且仅当detA≠0.此时，xi=detAi/detA
其中Ai是将矩阵A的第i列用β替代得到矩阵
这样解方程变成了算行列式，变简单了很多，但很少用到
