专升本｜一小时带你搞定常微分方程！

常微分方程

积分就是求导的一个逆向计算过程

有多少撇就有多少阶，一般就只有一撇或者两撇，有两撇的就二阶微分方程，

通解一般要加任意常数C（0、1、2、3……等等都是常数），C本质上没啥意义，加上去就是了。

一阶导求解就三种形式，二阶导求解就一种形式，先分类是哪种形式再具体求解。

区分的办法就是将y'单独表示出来。

第一种求解形式、可分离变量

y'可以写成dy/dx的形式（dy除dx形式），可分离变量的特点是能写成f(x)*g(y),f(x)的意思就是只含有x的分式（任意写法都行，不含其他未知数就可以了）、g(y)跟f(x)同种表达就是只含有y的分式，换种表达用来区分而已

第一步将带y的和带x的分别移到两边去，就是简单的乘除或者移项而已

第二步就是求积分（这步要背写常用的求积分等式，不多，背就完事了）

可分离变量例题1

等式两边同乘y^2后左边的1/y^2会被消掉，最后的结果是y'=(x+1)(y^2),(x+1)就是只含有x的分式f(x)，(y^2)就是只含有y的分式g(y)，所以符合可分离变量的特征。

按照解法，先移项，然后求积分就可以了

先回想常数求导的形式ax^n（a乘x的n次方）=a*(n)*x^(n-1),就是把右上的次方数n提到前面去（作为乘数），然后n变成n-1作为次方数就行了

1/y^2(1除y方)=y^-2，有1除次方数的相当于在次方数的前面加个负号就行了，譬如2^-2=1/4,2的负二次方就是等于1/2的平方=1/4，

y^-2，y的负二次方，回想下常数求导的形式，怎样的分式求导之后才会变成这种形式，首先将-2代入成n-1，那么求导前的分式的次方数就应该是-2+1，也就是-1，然后-1作为次方数在求导的时候会作为乘数放到分式前，所以求积分就方向算，除以-1就可以了，1/(-1)=-1，所以y^-2的求积分就是-y^-1,可以写成分子形式，就是-1/y，

同理自己想下(x+1)怎么推导成1/2*x^2+x+C

可分离变量例题2

先判断是哪种形式

复杂一点的也就例题2这种形式了，

但是基本步骤还是不变的，先移项之后再求积分，例题中的两项积分都是公式直接套用的，分别用到下图中的第6跟第15式，基本的求导公式死记就好了，

一般出现e的lny次方，e跟ln相消变成y就可以了

第二种求解形式、齐次

特征是存在y/x的形式，

第一步写死的，就是换元，因为u是个未知数，记住公式就是前导后不导加上后导前不导

下面的步骤都是一样的、联立方程、之后就可以用上可分离变量的解法，求出u之后再回代，这个时候u应该是个只包含x或是u的等式，之后再回代就可以求出y了

齐次的识别就两种形式，

1、分子分母中各项总次数相同且不含常数项，y^2跟x^2都是2次，x = x^1, y=y^1, 所以x*y也是两次，(可能有疑惑为什么要除x^2，想下怎么化出y/x就能明白了)，各项的次数都相同，那就是齐次

2、log或者ln的相减形式也可以写成相除形式。

齐次解法例题1

记住步骤，1换元，2联立方程、3整理成一边是u'的形式，然后套用可分离变量的解法

指数的次方数的加减法，可以写成是指数间的乘法形式，-lnu=ln(1/u)

ln的相关公式

ln(MN)=lnM +lnN （相乘变相加）

ln(M/N)=lnM-lnN （相除变相减）

ln（M^n)=nlnM （次方数可以提到前面做乘子）

ln1=0

lne=1

注意，拆开后,M,N需要大于0

根据ln（M^n)=nlnM所以理解-lnu的时候，就是ln (u^-1)也就是ln (1/u)

最后一项没写完，最后结果是(1/u)*(e^u)

最后一步回代就可以了

其次解法，例题2

他这里写错了，应该是u'*x=u*lnu

不定积分凑微分来解，ln u求导=1/u，所以1/(u*ln u)du等于1/(ln u) dln u

第三种求解形式，线性方法求解

太难的话可以跳过，这里要拿分的话只能背公式

公式也很好记，先分清楚，P(x)就是y前面的系数（或者说是跟y的乘子），等号右边的就是Q(x)，第1跟第3项都是p(x)的积分且都带e，第2项是Q(x)的积分，第一项积分前面要加个负号 ,第2项积分包含第3项积分，并且后面补个C

一阶既不是可分离也不是其次的话，那就是线性了

特征是如形式一或形式二，公式1跟公式2是一样的，只是将x跟y互调。

公式会出现三个的积分的项，第1跟第3项出现lnx时不加绝对值符号，第2项出现lnx时要加上绝对值符号，就是ln x要写成ln |x|

线性解法，例题1

第三个等号的结果，同时出现两项x的项，先看两项是否存在可导关系，有可导关系就用凑微分来解

线性解法，例题2

当既不是可分离、不是齐次、也不能写成第一种公式的形式的时候，试下对y'求倒数能得到x'的公式

二阶常微分方程解法

这部分也是靠记公式

特征方程的推导是靠，假设y=e^rx推导的

特征根的通解，是高中的一元二次方程的通解来的

这部分也是靠背，先分出哪部分是p哪部分是q就可以了

特征根根号里面的，分出正数还是负数还是0，然后套公式就可以了

二阶常微分，例题1

简单的就是这种，单根情况

二阶常微分，例题2

两根情况

简单用十字相乘法分解，求出对应的跟，套用公式，然后代入即可

二阶常微分，例题3

无效跟的情况

无效跟直接套公式，i^2代替-1

常微分死记硬背比较多，背完之后，套用公式比较多，还是比较好拿分的