【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep58】一个重要极限（一）

学过高等数学的亲都知道，在高等数学中有两个重要极限，也是数列部分必须要牢记的内容之一，今天我们就先聊第一个重要极限，数列xn=（1+1/n）^n的极限，数列极限往往不指明方向，原因是，与函数不同，数列的方向是确定的，必然是n趋向于无穷大的极限。

今天我们先证明该数列极限的存在性。

36数e

书上用到的方法即是“单调有界原理”，即证明分为两部分。

1.单调性——

这里用到的方法是“牛顿二项式展开”和观察法（实际上“观察法”应用的优先度应该是先于作差/作商，或者比较法的，但是因为日常习惯的问题，我们总是见到证明单调就作差或者求导，当然，“求导法”的应用范围是很广的，但是，这个位置一般教科书上还没有讨论到“导数”的内容，所以不采用），史济怀老师书上和汤加凤老师的视频课里面用的也是同样的方法——

1. ·二项式展开数列第n项：

   xn=（1+1/n）^n

   =1+n（1/n）+n（n-1）（1/n^2）/（1*2）+n（n-1）（n-2）（1/n^3）/（1*2*3）+……+n（n-1）（n-2）……[n-（n-1）]（1/n^n）/（1*2*3……*n）

   =1+n/n+（1/2）（n/n）[（n-1）/n]+（1/2*3）（n/n）[（n-1）/n][（n-2）/n]+……+[1/（1*2*3……*n）]（n/n）[（n-1）/n][（n-2）/n]……[（n-n+1）/n]

   =1+1+（1/2）[1-（1/n）]+（1/2*3）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+[1/（1*2*3……*n）][1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（n-1）/n]；

2. 展开式共有n+1项；

3. 其中第k项的值为——[1/（k-1）!][1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（k-2）/n]；

4. 同理，对于数列第n+1项：展开式共有n+2项，其中第k项为——[1/（k-1）!][1-1/（n+1）][1-2/（n+1）]……[1-（k-2）/（n+1)]；

5. 首先，对于展开式各项显然都是正项，数列第n+1项比第n项多一项；

6. 另外，对比数列第n+1项以及第n项展开式的相同位置，我们发现，有1-1/（n+1）>1-（1/n），则对应项依然是，数列第n+1项较大，所以，这个数列单调递增。

接着证明有界性。

2.有界性——

1. 由数列第n项的展开式——

   xn=（1+1/n）^n

   =1+1+（1/2）[1-（1/n）]+（1/2*3）[1-（1/n）][1-（2/n）]+……+[1/（1*2*3……*n）][1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（n-1）/n]

   可知，上式第k项[1/（k-1）!][1-（1/n）][1-（2/n）]……[1-（k-2）/n]；

2. 于是xn<1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!=yn；

3. 当n>3时，yn<2+1/2+1/2^2+……+1/2^（n-1）=2+（1/2）[1-（1/2）^（n-1）]/[1-（1/2）]=2+1-（1/2）^（n-1）=3-（1/2）^（n-1）<3；

4. 又xn=（1+1/n）^n>1；

5. 所以{xn}为一有界数列。

根据“单调有界原理”：单调有界数列必有有限极限。故而数列{xn}存在极限，我们将这个数字记作e。

下一次，我们就来聊e的近似值的估测和误差的计算。

今天就到这里！