双曲线的有趣性质

双曲线的有趣性质

已知双曲线Γ方程为x²/a²- y²/b²=1

直线l方程为y=kx+d

设直线l与双曲线Γ及其渐近线交于A，B，C，D 四点（见下图）则|AB|=|CD

证明如下：

联立双曲线与直线方程得

直线l:y=kx+d，双曲线Γ:b²x²-a²y²=a²b²

（b²-a²k²）x²-2a²kdx-a²d²-a²b²=0

A（x₁，y₁）D（x₂，y₂）由韦达定理可得

x₁+x₂=2a²kd/（b²-a²k²）

AD中点E横坐标X为a²kd/（b²-a²k²）

∴|AE|=|DE|

联立直线与双曲线渐近线方程得

直线l:y=kx+d，渐近线y=±bx/a

得到两个方程解得B，C两点的横坐标

x₃=-ad/（ak-b），x₄=-ad/（ak+b）

BC中点F横坐标X'=a²kd/（b²-a²k²）

∴|BF|=|CF|

∵点E，F均在直线l上且X=X'

∴E，F两点重合即|BE|=|CE|

∴|AE|-|BE|=|DE|-|CE|即|AB|=|CD|

如此一来我们就证明了这个关于双曲线有趣的性质。

注：本结论系《北大全国优秀中学生暑期学堂试题》