【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep92】函数极限例题（一）

这几次都是书上的例题，这次的题目讨论了几个基本初等函数，主要是熟悉函数极限的几种形式——

54例题

a.当a>1时，lim a^x=+∞，x趋向于+∞时，lim a^x=0，x趋向于-∞时——

证——

part1：lim a^x=+∞，x趋向于+∞时——

1. 复述定义：lim a^x=+∞，x趋向于+∞时，即对于任意大数E>0，存在Δ>0，当x>Δ时，a^x>E；

2. a>1时，a^x为单增函数，则a^x>a^Δ>=E，x>Δ>=loga E，所以取定Δ=loga E即可满足条件。

part2：lim a^x=0，x趋向于-∞时——

1. 复述定义：lim a^x=0，x趋向于-∞时，即对于任意小数ε>0，存在Δ'>0，当x<-Δ'时，a^x<ε；

2. a>1时，a^x为单增函数，则a^x<a^（-Δ'）<=ε，x<-Δ'<=loga ε，所以取定Δ'=-loga ε即可。
   

b.a>1，lim loga x=+∞，x趋向于+∞时，lim loga x=-∞，x趋向于0时

证——

part1：lim loga x=+∞，x趋向于+∞时——

1. 复述定义：lim loga x=+∞，x趋向于+∞时，即对于任意大数E>0，存在Δ>0，当x>Δ时，loga x>E；

2. a>1时，loga x为单增函数，则loga x>loga Δ>=E，x>Δ>=a^E，所以取定Δ=a^E即可满足条件。

part2：lim loga x=-∞，x趋向于0时——

1. 复述定义：lim loga x=-∞，x趋向于0时，即对于任意大数E>0，存在δ>0，当0<x<δ时，loga x<-E；

2. a>1时，loga x为单增函数，则loga x<loga δ<=-E，x<δ<=a^（-E），所以取定δ=a^（-E）即可。

c.lim arctan x=π/2，x趋向于+∞时，lim arctan x=-π/2，x趋向于-∞时

证——

part1：lim arctan x=π/2，x趋向于+∞时——

1. 复述定义：lim arctan x=π/2，x趋向于+∞时，即对于任意小数ε>0，存在Δ>0，当x>Δ时，|arctan x-π/2|<ε，已知arctan x<=π/2，则π/2-arctan x<ε，即arctan x>π/2-ε；

2. arctan x为单增函数，则arctan x>arctan Δ>=π/2-ε，所以取定 Δ=tan（π/2-ε）即可。

part2：lim arctan x=-π/2，x趋向于-∞时——

1. 复述定义：lim arctan x=-π/2，x趋向于-∞时，即对于任意小数ε>0，存在Δ'>0，当x<-Δ'时，|arctan x+π/2|<ε，已知arctan x>=-π/2，则arctan x+π/2<ε，即arctan x<ε-π/2；

2. arctan x为单增函数，则arctan x<arctan （-Δ'）>=ε-π/2，所以取定 Δ'=-tan（ε-π/2）即可。

到这里！