《几何原本》命题3.1【夸克欧氏几何】

命题3.1：

可求出已知圆的圆心

已知：圆ABC

求：圆ABC的圆心

解：

在圆ABC内作任意弦AB

（公设1.1）

取AB中点D

（命题1.10）

过点D作CE⊥AB，与圆ABC交点记为点C，点E

（命题1.11）

取CE中点F

（命题1.10）

求证：点F是圆ABC的圆心

设点F不是圆ABC的圆心，圆ABC的圆心是点G

连接AG，BG，DG

（公设1.1）

证：

∵点G是圆ABC的圆心

（已知）

∴AG=BG

（定义1.15）

∵AD=BD，DG公用

（已知）

∴△ADG≌△BDG，∠ADG=∠BDG

（命题1.8）

∴∠ADG，∠BDG是直角

（定义1.10）

∵CE⊥AB

（已知）

∴∠ADF是直角

（定义1.10）

∴∠ADF=∠ADG

（公设1.4）

∴小的等于大的，这是不可能的

（公理1.5）

∴点G不是圆ABC的中点

同理可证，除点F外没有别的点可能是圆ABC的圆心

∴点F是圆ABC的圆心

证毕

此命题将在本卷的命题中被大量使用

推论：一个圆的圆心位于圆内的弦的中垂线上