化学Langevin方程与涨落耗散定理的简要总结
本文总结了一种在一阶近似条件下计算化学反应体系平稳分布时协方差矩阵的一种一般性方法。
化学反应的个数形式
如果我们直接有个数形式的化学反应体系，那么就可以直接看作一个Markov跳过程写出化学主方程了。
如果我们一开始拿在手上的是浓度形式的化学反应体系，那么写成个数形式时，需要：1.把系数除以V的某个次幂使之无量纲化；2.原来的比如c^3项要变成n(n-1)(n-2)。
近似为化学Langevin方程
有了个数形式的化学反应，我们就可以按照化学主方程的二阶展开得到化学Langevin方程。（关键词：连续近似/扩散近似，Kramers-Moyal展开，Pawula定理，这些不再赘述）
但是我们不需要每次都大动干戈地展开，因为有现成的结论，如下所述。
我们希望有一个SDE：
那么其中的漂移系数和扩散系数都是什么样子呢？技巧：我们要按一个个分量去写。
漂移系数显然就是确定性ODE的样子。扩散系数则是把漂移系数中每一项反应的速率部分开根号，在乘上一个独立白噪声（即，每个反应都有一个独立的噪声）。物理意义很明显：涨落是O(1/sqrt(N))级别的。所以得到的SDE就是：
不过要注意到：只要扩散矩阵
一样，系统就是一样的（分析角度，看Kolmogorov方程，或者叫无穷小生成元）。所以右边的白噪声可以有不同的形式，不同文献上会不一样，比如像system size expansion里面其实也是等价的。
上面这种直接写出近似的化学Langevin方程的步骤很容易出偏差，而且Gillespie的原文献里面（[3]）的写法也比较混乱。所以我以前都是用Kramers-Moyal展开从头推导的。但是现在要学会这种直接写的方法。
涨落耗散定理
化学Langevin方程一般而言是非线性的，我们还是什么都干不了。不过我们可以在不动点附近做线性展开，得到OU过程。OU过程的不变分布（Gaussian）的协方差矩阵满足Lyapunov方程：
B为漂移系数，A为扩散矩阵。
附带一提，OU过程可逆的充要条件是
用ODE能直接求解平稳分布的均值。有了Lyapunov方程，我们就可以直接求解平稳分布的协方差矩阵。这样平稳分布的前两阶就完全清楚了。
从物理图像上看看这个Lyapunov方程都做了些什么。它完全刻画了系统在平稳状态下的协方差矩阵，也就是说，每个物质的浓度涨落（噪声）以及不同物质浓度之间的关联。[5]中Paulsson通过数值模拟发现不同物质之间的噪声会满足一定的不确定性关系（"Poisson hypercude"），其中在扩散近似下的证明用的就是这个Lyapunov方程。
Paulsson把这个Lyapunov方程叫做涨落耗散定理。我不知道他是否知道这个涨落耗散定理是可以从OU过程这种线性近似的角度直接推出的；他的文章里通常把它作为直接的物理假设，SSE这种linear noise approximation的推论，或者化学主方程的推论。至于涨落耗散定理这个名字，本来就是泛指统计物理里面的一大类定理。为什么这个Lyapunov方程叫涨落耗散定理，我的理解是：\Xi就是平稳态的涨落，A和B（特别是A）则表示系统对外加微小扰动的响应特性，即耗散。Lyapunov定理把二者联系在一起。涨落和耗散本质上起源于同一个东西，即相互作用。漂移的力度越强，即收敛到稳定点的力度越强（B不变，相对来说就是耗散越小），涨落越小，即平稳分布时方差越小。
参考文献
[1]Schnoerr D, Sanguinetti G, Grima R. The complex chemical Langevin equation[J]. The Journal of chemical physics, 2014, 141(2): 07B606_1.
[2]Qian H. Nonlinear stochastic dynamics of mesoscopic homogeneous biochemical reaction systems—an analytical theory[J]. Nonlinearity, 2011, 24(6): R19.
[3]Gillespie D T. The chemical Langevin equation[J]. The Journal of Chemical Physics, 2000, 113(1): 297-306.
[4]Paulsson J. Models of stochastic gene expression[J]. Physics of life reviews, 2005, 2(2): 157-175.
[5]Yan J, Hilfinger A, Vinnicombe G, et al. Kinetic Uncertainty Relations for the Control of Stochastic Reaction Networks[J]. Physical Review Letters, 2019, 123(10): 108101.
题图pixivid72810703，画师loundraw。
