第二部分 微分流形上的微分学

微分流形上的微分学，主要包含两部分内容：

（1）微分流形的定义与事例

（2）微分流形上的微分算子与其间的关系

（1）微分流形的定义与事例

1. 微分流形的定义

2. 边界流形

（2）切向量 余切向量 张量

1. 切向量

按 算子观点 引入 切向量

基于 多元函数的Hadamarder表示，结合 切向量的算子定义，获得 切向量的表达形式，需要基于具体的局部欧氏化

获得 切空间中基向量、切向量分量的坐标转换关系

2. 余切向量

按 算子观点 引入 余切向量

按对偶观点，获得 余切向量的表达形式，需要基于具体的局部欧氏化

获得 余切空间中基向量、余切向量分量的坐标转换关系

3. 张量

按多重线性函数的形式，引入 张量

基于切向量、余切向量的表达形式，结合 简单张量，获得 张量的表达形式

（3）Lie导数

1. 极限定义与分析

类似连续介质构型构造的做法，引入 微分流形上运动的刻画

按微分同胚的观点，引入 推前基与拉回基

按物质导数的观点，引入 Lie导数，说明 Lie导数不同与物质导数

基于可微性，进行极限分析

2. 作用性质

Lie导数作用于函数、切向量、余切向量

Lie导数作用于分量

注：我们首先基于极限分析获得Lie导数的分量表达式，然后基于分量表达式获得Lie导数的作用形式。

（4）外微分

1. 定义与性质

直接按定义的形式，获得外形式外微分的分量表达式

基于外形式外微分的分量表达式，获得外微分的基本性质

2. 算子之间的关系

推前-拉回运算与外微分的可交换性

引入里积运算

Lie导数与外微分的可交换性

基于数学归纳法，证明 同伦公式

同伦公式证明的相关注释

3. 外微分的作用形式

基于数学归纳法，结合 同伦公式，获得 外微分的作用形式

注：微分流形上的 代数运算：外积、里积、推前与拉回；微分运算：外微分、Lie导数。一方面，需要掌握各个运算的作用形式、分量形式；另一方面需要掌握这些运算之间的关系。