数学实现信号变换(包括变声器等)[0]: 基础知识
***第一次写专栏***
警告: 前方包含大量数学知识, 苦手者可寻求帮助或者直接退出
前置: 假设读者已经可以接受积分和虚数两个数学概念 (只是接受就行了, 不需要懂得是什么)
这个专栏的重点是用简单明了的方法让读者懂得原理, 而不是注重计算过程, 如果需要计算过程的话, 我考虑日后出附章补充计算上的细节
要实现信号变换需要了解傅里叶变换是什么, 而傅里叶变换需要了解复函数的积分
1.复数相关
***需要了解复数. 点, 和平面向量之间的关系, 已经知道了的读者可以直接跳过这部分***
在日常生活中, 实数是大家都会接触到的, 但是在数学上解决实际问题时, 总会碰到很奇怪的事情, 其中一个就是-1的开平方是什么
于是数学家们规定了一个数: i, 它就等于-1的开平方. 但是你会发现在实数内是找不到一个数的平方是-1的, 所以i就叫做虚数
如同实数可以用一条数轴来表示, 虚数也用一条数轴来表示, 实数和虚数结合就是复数了, 如: 1+i, 3+4i等. 而复数则可以用一个复平面来表示. 所谓平面就像是平面直角坐标系那样, 有x和y轴, 相对应在复平面就是实数轴和虚数轴
所以, 任意一个复数都可以在平面内找到唯一一个点与它对应. 同理, 在平面内, 从原点出发到这个点就确定了唯一一个向量 (有方向的量, 如:速度等)
2.积分相关 ***内含过多错误知识, 但是为了理解信号变换已经足够了, 正确的在未来的附章里***
***需要了解积分与平均数的联系, 和复函数积分的意义, 已经知道了的读者可以直接跳过这部分***
如上图所示, 这就是一个通用的积分式, 式中a和b是积分是下限和上限 (一般来说都是实数, 且a比b小, 或者相等).
式子左边的分数就是单纯的一个数字而已, 中间的∫叫做积分号, 意义不大, 只是提醒记得积分而已, 积分下限上限分别在积分号的右下角和右上角 (直接写在积分号下面和上面的人也有, 比较少见, 但是也可以的), f(t)叫做被积函数, 就是一个数字f, 它会随着另外一个数字t的变化而变化, 把它当作初中的(y=什么什么x)就好, 现在是(f=什么什么t) dt跟积分号一样, 意义不大, 和积分号搭配在一起提醒记得积分, 记得dt是不能拆开的(重点)
综上所述, 真正重要的只有a, b和f(t)而已, 这条式子的意思就是: 在t取a到b这一段里面, f取平均值, 图例:
它算出来的结果是等于3, 也就是说绿色的面积和蓝色的面积是一样的, 这就是求平均的意思
其实在复数里这个式子有另外的意义的, 不过感觉聪明的读者应该会看得懂以后的解释的吧?
基础知识到这里就结束了, 非常笼统地说了一下复数和积分, 其实这篇东西是不应该存在的, 我只是怕突然发傅里叶变换的文章会劝退大部分人而已
(事实上应该有很多人看到数学就退出了吧)
如果有人坚持看到这里的话, 希望可以分享给更多喜欢数学和物理的伙伴看看, 有疑问或者建议也可以直接在评论区留下, 我是真心希望有更多的人可以跟我一起讨论这方面的知识
最后推荐一些相关的东西给大家
文中的图片全部是一个函数软件desmos画出来的, 官网: desmos.com, 有手机版和网页版
在这里强烈推荐一个up (?youtuber), 叫做3blue1brown, 他的视频给了我很大的灵感, 没有他的话我可能就完全不会懂得这些知识的, 积分相关:
