另一种划分数的方式，超越数
前言
由1到0，由具到抽，人们将智慧与思考注入到一个个符号之中。数字是人类的工具，它陪伴人们走过了数千年的历史。数字就像是天上的星星一样数不清，而人们也不断尝试着观测到更广阔的宇宙，不断创造新的数字。今天，我们就来说说星星。 一、数的创造史
1.正整数
自古人们就有“结绳记事”、用小石子记录事物的行为，可是绳与石终究还是有些不便，比如如果记录较大数字的时候难免会有不够用的情况，所以人类发明了一种抽象的符号来代替，这样就有了1、2、3……这样的自然数。当然，不同地区所用的符号都有所不同，其中最出名的便是古罗马的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ……，但是如今我们统一习惯使用阿拉伯数字，这不是因为其发现之早，而是因为它巧妙的运用了十进制，在面对一个极大的数字时它相比其它数字符号更为简便。另外有一些人问为什么“1+1＝2”，就是因为这个时期人们发现，如果我摘了一个果子，又摘了一个果子，那么这就有了两个果子，因此有了这个基础的公理。 2.零，小数，负数
随着人们对数字的熟悉运用，人们开始思考：如果我有一个果子那我吃了之后还有多少个果子？如果有3个果子该怎么分给4个人？零以下的温度是多少度？伴随着人们的思考，人们开始发现，仅凭正整数已经无法满足他们的需求，于是就有了零，小数（分数），以及负数。 而从负数开始，数就已经脱离了现实的物品，变得更加抽象。 3.无理数
就在人们还在沉浸在有理数的伟大时，第一次数学大危机来了。一个腰长为1的Rt△，它的斜边长度是多少？人们百思不得其解，因为人们认为“一切量都可以用有理数表示”，可是这个数怎么就是表示不出来。其实人们有这个思想也是很正常的，有理数域上四则运算是封闭的，所以无论人们怎么加减乘除有理数，最后得到的还是有理数，人们自然就认为有理数是“万能的”。在最后，人们针对这样的数，专门起了个名字名曰无理数。 4.虚数，复数
由第一次数学大危机，人们知道了“√2”这样的无理数，可是如果根号下的是个负数会怎么样？而且在解方程的时候又偏偏常常遇见，像x²＝－1就无解吗？不甘心的数学家们便发明了虚数i，而形如a+bi就是复数。 二、从方程的角度看数的发展
1.解方程
其实从“1、2、3……”的发明开始，以后的一切问题以及数的拓展都可以看作为解方程的过程 零：x+1＝1； 小数：2·x＝1； 负数：x+1＝0； 无理数：x²＝2； 虚数：x²＝－1。 也就是说对于一个方程f（x）＝0，它的解可以是整数，可以是分数，可以是无理数，甚至是虚数、复数，
那么所有的复数都可以由方程的解来表示吗？
2.自然常数e
在大自然中存在着很多的螺旋线，像海螺、气旋、旋涡星系等等都有螺线的身影，这些被称为对数螺线，极坐标（r，θ）中的极坐标方程r＝a·e^（bθ）可以表示上述的螺旋线，其中的“e”就是自然常数。 下面，我们正式开始证明粉字。 3.有缺陷的代数数
对于一个（有理or整系数多项式）方程f（x）＝0而言，我们将其x的复数解称之为代数数。 设f（x）＝a_0+a_1x+……+a_nx^n 对于一个n次多项式而言，
其最多有n个解
，而f的个数也是
可列（与自然数可以一一对应）
的吗？ 我们利用素数来记录不同a_i 令γ＝2^a1·3^a2……p（n）^an 其中p（n）为第n个素数，这样
我们每有一个f，就必存在一个自然数γ与之对应，而解又是有限的
所以f（x）＝0的每一个解都可以对应一个自然数！！
而显然在全体复数范围内，自然数是做不到与之对应的，即自然数不够用了！
这就说明了有的复数不可由方程的解来表示出来。
4.弥补代数数的部分——超越数
那么，不可由方程的解来表示的数叫什么呢？叫超越数。都到这里了我们就顺便介绍一下判定超越数比较好用的定理吧。 林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrass theorem） 如果 α1,...,αn 是互不相同的代数数，若另有代数数a1,...,an使得a1e^α1+...+ane^αn＝0，则必有a1＝...＝an＝0
有了这个，我们就能利用反证法来证明一个数是否为超越数。 例：证明e为超越数 假设e为代数数 由于1·e^1+（－e）·e^0＝0 而1与－e不同时为0，矛盾！ 故e为超越数 所以，复数就这样被名为方程的东西切成了代数数与超越数，而目前我们所知道的超越数十分有限，比如e和π就是我们所公认的超越数，而值得注意的是，超越数一定是无理数，而代数数可以是有理数也可以是无理数。 5.新的划分方法
从数发展的角度我们有着一套划分数的方式，而从方程的角度来看，复数可以分成代数数与超越数，当然我们也可以继续分下去，将超越数化成实超越数与虚超越数（像π·i这种）……总之这是另一套的划分体系，而解方程的问题真是由古至今一直没有结束过呢。
“那小而美丽的火车穿梭在翻飞于风中的天之芒草里，飞奔过银河之水及三角标的蓝白微光，然后就那么永无止境地，一直奔跑下去。”
