高中数学基础与解法全集之我的笔记（会不断补充）☞

写在前面：参考我的笔记前请看评论区置顶。

第一部分【初高中衔接知识】

课题1：乘法公式

1.知识梳理

以上公式应熟记，其中一个数的几次方的每一项的系数可以用杨辉三角进行推导（首项末项系数为1，中间系数为两数相加之和），不管怎样以上公式各项符号均为正前负后，一定要注意。

2.例题讲解

听完一哥讲解，你发现没有？这三道例题我们是怎么做的？是不是都是先看已知条件，转化为我们学过的东西来解决问题？你通过转化发现你又需要求什么，根据已知再转化，这就是一哥所讲的逆推顺正的思想。

课题2：绝对值的意义和解题方法

1.绝对值的代数意义和几何意义

探究绝对值的代数意义，我们可以通过分类讨论的方法，讨论a的3种情况（a当然不会就只指a，代数式也行），在解题中，用代数意义更容易理解，推荐使用。

探究绝对值的几何意义，我们运用数轴，转化为两点之间的距离（举例请认真听一哥讲解）。

以上例子之中，我们遇到绝对值就分类（按照零点分类，目的是去掉绝对值），讨论绝对值中代数式的情况（原式或者其相反数），然后解不等式即可。相比于几何法，我们不难发现，代数意义应用更广，更好理解，几何意义运用范围有限，所以首推代数法。

2.一元二次方程和绝对值的结合

与前面一样，先分情况讨论，再解方程就可以了（十字相乘法）。

如果是解不等式，仍然一样，分类讨论，解不等式就可以了。

你发现了吗？这三个例子，我们都有一个共同的方法——分类，这也是本次课的核心，也就是绝对值的代数意义。题不同，方法却万变不离其宗，我们应以不变应万变。遇到绝对值，就分类讨论，转化成所学求解就可以了。

课题3：二次函数中的a,b,c

1.知识梳理

• a作用：控制二次函数开口方向，a＞0，开口向上，a＜0开口向下（a≠0），a又影响二次函数的增长速率（“陡峭程度”）
• b作用：单独无作用，与对称轴相关
• c作用：二次函数与y轴的交点

a,b,c可共同组成∆=b²－4ac，运用公式法又可以求出与x轴的交点（∆≥0，∆＝0时，x₁=x₂）。

2.例题讲解

①零点转化为交点（将一元二次方程根的问题转化成二次函数的图像，方程右边其实就是二次函数的y）

这一道题考察的是二次函数a的作用，前面说了它可以影响函数的“陡峭程度”，由于他的两个根不能变，必须经过，由此我们绘制出三个图像，令y=1后肉眼可见x的大小关系。

②通过a,b,c的作用判断对错

解决这一类题一定要对二次函数的a,b,c的作用足够熟悉，充分利用已知条件找到a,b,c之间的关系。着重说一下序号4，通过图像，我们不难发现：a＞0时，离抛物线对称轴越远，y值越大；a＜0时，离抛物线对称轴越远，y值越小。

③纵坐标大小取决于横坐标与对称轴之间的距离

上题已知y之间的关系可以推出a的大小，通过画图又推出x之间的关系。

综上，我们一定要打通一元二次方程和二次函数之间的关系，图像往往能更直观地解释问题。

课题4：含参（含有未知数）一元二次函数相关问题

1.知识讲解

①最值：不用死记，画图一目了然。根据他给的区间和对称轴讨论即可。

②根的分布：给根的范围，求满足需要的条件。画图！看端点，找关系。

③不等式：画图！看要求，再对照自己画的图，一目了然。

2.例题讲解（认真看！）

看这道题，⑴问直接给了a，这就很好了，代进去，画个图一看，什么时候最小？顶点最小，y也就解出来了。

⑵问，观察二次函数，可以求出我们的对称轴x=2，但是a不知道咋办？分类讨论a，a＞0时，离对称轴越远y越大（知识的详见前面的课题），显然x=4离对称轴更远，所以f⑷=4（当x=4时y的值为4）；a＜0时，顶点所在y最大，所以f⑵=4，从而解出a的值。过程如下：

注：如（0,1）指0到1之间不包括0,1的所有实数

题目给了根的范围，老方法画个图，再找端点，就可以找到f(x)的关系了，然

后再解不等式，a的范围就解出来了，过程如下：

其实我们也可以发现，括号之中1,2条件其实控制了跟在0和1之间，条件2,3条件控制了根在1和2之间。

这一类题我们往往要带上对称轴，⑴问直接用 ∆即可。⑵问，画图！列条件！首先必须保证∆＞0吧（2个不同解）；对称轴绝对不能在－1左边吧，必须在右边，但是画图发现还是有可能解比－1小啊？对比两个图，我们发现f⑴的大小不同，为了控制小的那个根大于－1，f⑴应大于0才行，然后解出来即可。

因此我们解决此类题目一般有三个要点：△，对称轴，f(x).

来看不等式问题，首先告诉了解集，x取的是中间，所以函数开口必须向下。由于1是个零点，代进去使其等于0就可以解得a了，b就是另外一个根。⑵问不等式比较复杂，我们尝试看看能不能因式分解，分解出来后可以得到两个根，一个根含参，我们就将这个根讨论与另一个已知根的大小就可以得出解集了。

综上，含参一元二次函数求最值一定要知道a的大小，根的分布需要知道根的表现情况，不等式画图，如果不知道根的情况，分类讨论即可。这节课我们都画了很多图来解决问题，也足以体现画图解题的重要性了。

课题5：韦达定理相关问题

1.知识梳理

2.例题讲解

本节课中几乎每道题都提到了实数根的问题，这个前面有讲过，就是看∆（∆＞0，两个不同实数根，∆＝0，两个相同实数根）。先来看第一题：

没啥好说的，就是韦达定理的应用。再看第二题：

题目信息一定要看清楚，标在旁边，看到实数根一定要想到∆，这样可以求出一个范围，看⑴问题目，一定要往韦达定理方面靠，这样我们就可以得到方程，再根据范围，取舍即可。⑵问我们将T通分，转化成韦达定理能求的，转化成m的式子，再根据范围，求出T的范围。就完了？不对！注意我们化简过程中，一定要注意到增根！这就是一个大坑，请务必当心！过程如下：

最后看第三题：

我们着重看第二问，公式一定要记住，代进去解方程就可以了。一哥在视频中还介绍了其他的方法：其实就是十字相乘法，求出两个根代进去解方程，但是太麻烦，不推荐。

综上对于方程实数根一定要想到∆，解题尽量往韦达定理上靠。这其实就是数学的重要思想之一——转化。

第二部分【必修一】

第一单元：集合与常用逻辑用语

课题6：集合的基本定义和表示方法

知识梳理：

1.定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2.集合的表达：如上图

3.三大特性：

①确定性：一个集合要合理存在，其中的元素一定要确定。“较大的数”不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的。

②互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。

③无序性：集合中的元素没有固定的顺序，元素可以任意排列。

4.表示方法：

①列举法（上面是常用集合分类）

②描述法：

3.区间法：

先画图，用开区间和闭区间表示。例如下面x＜5，－∞表示小于5的最小的那个数，所以－∞是取不到的，所以用开区间，因为5也取不到，所以也用开区间。又如下面1＜x≤3,1取不到，3取得到，所以3后面用闭区间 。

课题7：集合之间的关系

知识梳理：

1. 子集：一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集。（记法如上图所示），我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合：

以上这个图我们称为Venn图。

2.集合相等：如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A和集合中B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等。

3.真子集：若集合A⊆B，但存在元素x⊆B，且x∉A，就称集合是集合的真子集。

4.空集：不含任何元素的集合称为空集。 

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

5.交集和并集：

交集很好理解，就是两个集合相交的部分，即共同部分（图中阴影处），一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集；并集就是两个并列的集合：一般地，由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A和B的并集。

6.补集：

首先，什么是全集？定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集。

什么是补集？定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简单来说就是在全集U中除了集合A以外的所有元素所构成的新的集合。我们可以通过数轴来理解。

以下是举的例子是对各种子集的讨论：

至此本节课的笔记就结束了，大家课后一定要勤加练习。

课题8：集合

本节课核心思想：发散思想（从一到无穷大）

什么是发散思想？简单来说就是从一个很简单很微小的东西，逐渐扩展发散出许多不一样的东西。就像是一棵树木的根，不断发展探索，生长出更多根系，最终牢牢扎根于土壤。而这个思想，对于数学学习是一个很好的借鉴，这节课就是很好的一个例子。

首先，你看这个集合A，是不是一个很普通的描述法的集合，而我们想想，它是否有其他的表达方法呢？没错，正是前面所提到的区间法。于是，我们可以这样描述（最右边是它的数轴表示，即画图法）：

再来看这个集合B：

同样是描述法，它却不一样，它表示的是一个一元二次不等式的构成的集合，这个前面讲过，把它解出来（画个图{函数图像}，看大于小于{题目的信息}，用阴影标出，看方向决定大于小于），其中画图的前提是你知道它其中的至少两个点，这时候就又需要我的的十字相乘法（如下图所示）。

我们再改一下：

我们只是改了一个条件：x∈Z，这样解就有限了，我们可以运用列举法表达。

如果我问它的子集个数呢？非空子集个数呢？真子集个数？非空真子集个数？

其实我们不难发现，这几个问题都是由子集问题不断加限制形成。而子集个数前面我们找规律后讲过，就是2ⁿ（n表示集合中元素的个数），问非空子集个数减去空集即可，问真子集个数减去自己即可，问非空真子集个数减去空集和自己即可。

我们再从交并关系讨论，讨论集合AB的交集和并集，我们从字面上就可以理解：交集就是集合中有交集的地方，并集就是把两个集合并在一起，即两个集合的最大范围。

再想想补集。

如果你是这么想的，“恭喜你”，你成功地漏解了。

看图你会惊奇地发现，有个-3狗狗搜搜地躲在那里，而-3集合A有，而集合B没有，所以它应该在补集中。如下图所示：

学完这节课，你也许会惊奇地发现，通过两个集合，就将前面的知识全部串连了起来，就像从1开始，逐渐发现了更多数字，一直到无穷大，这就是一哥课程名字的由来。也希望大家能借鉴这个方法，学好数学！

课题9：集合的互异性相关问题

1.本质：集合里面的元素互不相同。

2.例题：

我们做这类题，我们只需要注意同一个集合中集合中的元素不同就可以了。上面这道题我们运用的是分类讨论的思想，讨论a²-a+1与前面几个元素是否相同（但有个大前提就是a的取值）。

（补充：上题中p≠±1）这道题考察集合相等和互异性。集合相等顾名思义就是集合中所以元素一样。所以我们这道题还是要分类讨论，于是们可以得到两个方程，但是请注意互异性！

课题10：集合相等的证明方法

1.证明方法：

2.如果元素较多该如何证明集合相等——通项相等。

【例题】

总结：通项相等，我们一定要把各个集合用表达式表示出来，表示出来之后尽量往一个形式里面靠，这样我们才能找到它们之间的关系。例如上题，我们先是通分使形式相近，再转化为同样的表达方式，就可以比较两个集合的范围大小了（实在不行举几个例子探究规律也行）。

3.如果不好用元素相等怎么办——定义法。

【例题】

例如上题，虽然已经有表达式，但是用通项法并不好做。那么我们就用定义法。第一步相信大家都看懂了，第二步我们要找到对应的m,n使之成立，我们就令m,n是k的若干倍，可以直接消掉k。因为7,18互质就一定能找到对应的系数。我们从小的数开始找，找到了这道题就解决了。（一哥画圈的地方步骤可以省略）

课题11：子集相关问题

1.解题思路：

2.例题：

【例题1】

这道题元素有限，所以我们可以采用列举法，但是我们的分类依据一定要严格！这道题我们是根据集合元素个数分了三类，一定要注意⊆ 和⫋的区别（前者元素数目可以相等，后者元素数目不可以相等）。

【例题2】

这一类题目告诉了集合的区间，所以我们采用区间法，而画数轴是最直观的。但是请注意真子集是任何集合的子集，所以我们一定要讨论空集！！！最后取值范围一定要写成集合形式。

【例题3】

这一类题属于新定义题。解决这道题目的关键在于理解题目，而这道题我们完全可以理解为A⊆ S而且里面的元素（个数为4）一定要相邻。之后我们再根据集合中的最小元素进行讨论。再强调一遍，分类依据一定要严格！！！

课题12：集合的交并补混合运算（基础）

1.解题思路：

解决此类问题有两种思路：

①区间法，题目中往往会告诉集合元素的区间，我们可以画数轴来解决问题。

②Venn图法，这种方法适用于两种情况：一种是对集合中元素尚不清楚；一种是集合中元素为若干个分散元素。

2.例题

【例题1】

⑴问直接告诉a，代进去画个数轴找就行了。但是一定要注意数轴中的实心空心，避免漏解。⑵问就有了未知数了，因为a的取值不确定，所以我们要分类讨论a的取值。

【例题2】

这道题中集合是相当模糊的，我们可以用Venn图大致表示他们之间的关系，画图一目了然。前提是要对交并补的概念足够熟悉，避免画错图。

课题13：集合易错点总结（中档）

1.表达方式

这里特别注意，一个集合也可以是多个集合组成的集合的集合，简单来说就是集合里面的元素换成了集合而已，本质上还是一样的。

2.集合中的代表元素

集合中的代表元素不同，那么构成的集合也就不同。上面的例子就能很好地说明这一点，他们的代表元素不同，集合的区间也不相同。集合C是一个点集。

3.描述法表示集合

我们就只需要理解一点：左边的代表元素构成了集合，右边是对它的描述。

4.空集

这一类型的题目很容易漏解，记住：空集是任何集合的子集。集合不确定时一定要讨论空集！

5.证明集合之间的关系

①列举法

②定义法：证明他们互相为对方的子集。（用于证明集合相等。如果不相等，一定要把形式往一个方面靠，找出他们的范围大小）

这道题我们用定义法做。我们就看A中的任意一个元素B中都有，B中的任意一个元素A中都有。由于m,n∈Z，所以7m+18n肯定为整数，k一定取得到，所以A中的任意一个元素B中都有；第二种如果我们还是用第一种的方法的话就会有争议：2k是整数了，可是7m+18n中的m,n一定是整数吗？这正是我们要去证明的（详细证明过程请看视频P12），我们发现：当m=-5k,n=2k时成立，因为k为整数，所以就保证了m,n为整数，因此B中的任意一个元素A中都有。

6.高考真题

画数轴一目了然，选B。

这里一哥用的列举法，我在这里证明一下。我们把t=4n+1改写一下，变成2（2n）+1。你发现没有，S当中2后面是n，n∈Z；而T当中2后面是2n,n∈Z。一个是整数，另一个是整数但是只能是偶数，所以T肯定包含于S。选C。

课题14：集合的新定义问题

1.思路概述（见招拆招）：

2.例题：

解决这道题的关键是读懂题目，题目怎么要求我们就这么做，见招拆招。基于这道题集合元素较少，我们画Venn图出来一目了然，进而找到它的差集，子集个数自然也就出来了。

这道题也是一样。给了两个集合我们可以把他们的区间表示出来，然后用数轴表示，再根据定义就可以了。（一定要注意数轴中的实心空心！）

这道题的难点是不漏解。而应对这种类型的题目，我们一定要有严格的分类依据！这道题我们就以元素的个数分类，最后总和一下个数即可。另外我们可以直接举个例子，有助于理解题目。

课题15：集合拓展

1.例题讲解

此类题考察交并关系。第一问我们一定要讨论集合B，因为集合B的区间含有未知数，很有可能是空集，而空集是任何集合的子集，是符合题意的。第二问我们就需要画数轴来解决问题，注意：一定要看清楚是空心还是实心！最后请写作集合形式。

这道题就有意思了。第一问我们怎么也无法找到x+y。我们换个思路，题目给的是相减，我们给他转化一下，y咋们给他变成-y。再相减不就完了吗？而-y我们又可以通过0-y得到，当x=y时，0∈M。所以我们理一下思路，再正过来写就OK了。而这就是逆推顺正的思想。

第二问我们首先是想证明x(x+1)∈M，可是X²很难证明其属于M。所以，我们换一个思路。把原式再转化一下：

我们就只需要证明他们分母属于M就可以了。而题目又给出了1∈M，根据定义得解。

课题16：【集合挑战150】全面提升（拔高）

1.例题讲解

遇到这类复杂一点的Venn图，我们不要怕，一步一步来，把每一个选项的图画出来，一个一个排除即可。但是前提是对交并补概念足够熟悉！（不清楚的请看前面笔记）

我们考集合不一定只考数集，我们还可以考点集。而这道题略微有所不同，集合M的形式看上去有点诡异，但是又很熟悉。∆x/∆y（x₂-x₁/y₂-y₁）这种形式我们可以联想到斜率（这道题只是将另一个x,y换成了数字而已）。而斜率我们又可以想到tan，证明斜率也很简单——待定系数法。因此我们可以看成两个点构成的直线，再把图画出来，根据交并补定义，就可以解出来了。（请注意集合M中点(2,3)取不到）

这类求子集的题目，还是一样，一定要有严格的分类依据！我们讨论集合B当中的元素（3种情况，一定有a,c当中一个），再讨论有无其他元素即可得出子集个数。

这道题也一样，我们对集合Q进行分类。但是根据奇偶性，我们发现最后两种情况结果都为奇数，意思就是说其中一定会有重复的部分（偶数除外，因为偶数在第一种情况之中），而他们都是15的倍数（举例可以得到），x最大只能取到99，重复的部分又得是15的倍数，所以重复的部分最大为285，根据小学所学的项数算法可以算出重复的个数，在总的减去即可。

这一类题的关键在于画图，因为题目中集合的区间是已知的。主要看第二问，因为交集已知，要想范围之中有个3，集合B中的一元二次不等式中一个根必须为3，另一个根的范围也就可以知道了。但是我们要求的是a的范围，这时候我们就要想到韦达定理（其专门打通根与根之间的关系），于是范围就可以求出来了。BUT，我们有个大前提别忘了：集合B不能为空集（这道题对范围没有影响）。

第一小问没啥好说的，根据定义即可得解。

第二小问A-B集合中的每一个元素都属于{0,1}，所以A-B∈Sn。接下来我们将d(A-C,B-C)表示出来，这道题就基本上做完了。既然要使d(A-C,B-C)=d(A,B)，就证明他们中的每一个元素相等不就更简单了吗？但是证明的过程中，我们发现这个Ci很烦人，我们就把它讨论一下，因为它就只有两个值——0,1。最后发现确实是相等的，这道题也就证完了。

课题17：充分条件和必要条件

1.重点知识梳理与补充

一、命题

1. 命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2. 命题的形式：数学中命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”，通常我们把命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

举个很简单的例子：若p:我是重庆人，q:我是中国人。那么我是重庆人（p）能充分说明我是中国人（q），我是中国人（q）才可能是重庆人（p），所以我是中国人这个条件很有必要。

2.例题讲解

（第三题包含未学内容，不整理于此，前两题详细过程请听一哥讲解）

方法汇总：

①找结论和条件

②看二者之间的关系

课题18：全称量词和存在量词

1.知识梳理

从字面上我们就可以很好理解。全称量词，单一个“全”字我们知道是所有/任意；而存在量词，单一个词“存在”说明不是全部，而是存在一个/至少有一个。其中一哥也拓展了：在(x)前面加个字母代表题目中出现了的有关x的结论。以下是书面解释：

2.例题讲解

这道题很简单，把对应的符号翻译成中文，再通过寻找有无反例判断真假命题即可。

我们判断全称量词命题和存在量词命题其实就是看他表示的对象是全体还是不是全体（单个），然后判断真假命题即可。

课题19：命题的否定

1.知识梳理

注意：命题变否定命题条件结论都得否定！

2.举例讲解

本质：对命题的所有部分进行否定。全称、存在互相转化，条件结论都变否定。但是注意有些的否定，例如奇数的否定 是 不是奇数，不是 偶数！（因为还有其他数的存在，例如分数等）

课题20：逻辑用语习题课

1.知识回顾

2.例题讲解

这道题我们先把q和p表示出来，那么非p自然也就出来了（就是p的反面）。再看p,q互相推理即可。

关于不等式的充分必要条件题目，也是一样的，p和q互相推理。这道题中第二种情况，我们无法确定p,q的大小（是否为正或者负），举例后发现p,q为负时也成立了。证明必要性不成立。选A。

判断真假命题，找是否有反例。

这道题还是一样，跟着题目做就可以了，但是我们一定要对概念熟悉。

第二单元：一元二次函数函数、方程、不等式

课题21：一元二次函数基础知识回顾（函数、方程、不等式）

1.知识梳理

首先，我们要建立起一元二次函数、方程、不等式之间的联系。观察形式我们不难发现，他们都是一元二次的式子，只不过与其构成的关系不同罢了，所以我们应该认识到他们本质上是一个东西。而函数则是方程的图像表示，不等式则是限定了条件的函数，所以我们往往看到的图像只是整个函数图像的一个部分。（注：当y=0时，也就是对应的是x轴，而一元二次方程右边一般是0，所以函数x轴交点是方程的解）

我们首先观察以上三个函数，他们的∆大小关系不同，我们将图像画出来之后，发现其根的情况又有所不同：∆＞0，函数与x轴有两个交点（方程有两个根）；∆＝0，函数与x轴有一个交点（方程有一个根）；∆＜0，函数与x轴没有交点（方程没有根）。

函数不仅有一般式，还有两根式：

两根式a后面的二次项系数为1，也就是说a决定了二次项的系数，因此上面中二次项系数知道了，a也就确定了。

不等式也是一样的，只是把后面的等式关系换成了不等关系，我们画图一目了然。唯一我们要明确的是：式子＞0，图像取x轴上方；式子＝0，图像取x轴；式子＜0，图像取x轴下方。

2.例题讲解

这道题还是一样：画图！但是我们要注意函数的平移：对于未知数式子外的就是上加下减，即下图的-2，对于未知数就是左减右加。

课题22：等式与不等式的性质（初中知识回顾）

1.知识梳理

比大小方法：①作差法，结果与0比较。大于0则前者大于后者，反之则后者大于前者。②作商法，将两个对象相除与1进行比较。

2.例题讲解

这道题我们直接作差是不方便的，我们可以先平方再使用作差法。（但是前提是A,B＞0，如果A,B＜0就不能这么做啦）

这道题我们发现这些式子如果相除可以约分。于是我们就用作商法。（前提是A,B＞0）

【性质归纳】

这道题我们正着不好证明，我们就逆推顺正。先倒着推，最后就把过程顺正即可。

课题23：基本不等式

1.知识梳理

注意：基本不等式前提是a,b＞0

常见运用如下：

2.例题讲解

有的时候基本不等式的结论不能直接用，我们就想办法让根号里面的为常数。这道题我们是将式子拆开消掉了未知数，从而直接求解。

这道题关键在于理解a，我们运用基本不等式知道式子结果≥2，那么a只需要小于等于2即可。如果a取了大于2的数，那么原式很有可能取不到（因为式子结果≥2）。

本节课笔记就到此结束了，但是基本不等式内容很少，题目的花样很多。所以课后一定要勤加练习！

课题24：“1”的代换（中档）

1.知识概述

这道题我们仔细观察一下一哥的做法，不难发现，“1”的代换实际上就是用分式之和乘以它的倒数。这样分式之和我们又能代换为前面的分式相加，相乘就会得到两个不相同的分子分母互相颠倒的式子，这样我们就可以直接运用基本不等式就能解出来了。

2.例题讲解

这道题还是用“1”的代换。只不过与前面一道题略微不同的是换了个顺序而已。如果是一道大题，我们还需要写出它什么时候取等。

这道题我们还是要想到“1”的代换，求出值的范围。我们也只需要满足右边的小于等于左边即可。（上一个课时也讲到了，这里不再赘述）我们画一个图，发现只需要满足∆≤0。（这样图像就不会在x轴下方）

课题25：不等式中的“凑形”

1.例题讲解

这道题我们一定要搞清楚它的本质。条件只要同时除以xy，就又可以得到分式相加，进而运用1的代换求解。

这个时候我们没办法直接用基本不等式，我们就可以尝试凑出一个x-1，把前面x换成x-1之后加个2即可。或者我们不这么做，将分母换元，将x用a表示，也可以使用基本不等式。（注意：基本不等式的使用前提是 a＞0，即x＞1）

（此题包含新教材未学内容，暂且跳过）

但是这道题目思路还是可以说说的，三角形中求两边的最值应该想到余弦定理（未学可以跳过），之后使用几何平均数和算数平均数的转化关系（平方之后），即可得解，但是一定要说清楚什么时候取等。

课题26：基本不等式（从一到无穷大系列）

首先我们先回忆基本不等式：

从左到右三个分别是平方平均数，算数平均数，几何平均数。

知识点1：直接使用基本不等式

例题1就是直接使用，没啥好说的。例题二则需要我们使用几何平均数和算数平均数的不等关系。

知识点2：“1”的代换

这种类型的本质就是用分式之和乘以它的倒数，凑出一个1来。这样分式之和我们又能代换为前面的分式相加，相乘就会得到两个不相同的分子分母互相颠倒的式子，根号里面就一定是一个常数了。

而有的时候并不能直接使用基本不等式，这时候我们就需要补项。

第一个例子就是很简单的凑一个x-1后补上一个1，从而使用基本不等式。第二个例子我们可能因为字母而找不到方法，我们可以使用换元法，使题目更清晰。最后转化成能使用基本不等式的形式。

知识点3：换元法

正如我们前面所遇到的问题，因为式子复杂而找不到联系，这就需要换元法的帮助啦。

这道题我们会觉得这个根号很烦，看上去无从下手，这个时候就使用换元法。由于我们要求√x+√y，所以我们试着找x,y之间的关系。而x,y与a,b又有关系。（平方可得）因此我们最后可以得到x²+y²=9，根据几何平均数和平方平均数的不等关系可以得解。

这类题我们发现有相同项，也可以使用换元法。根据算数平均数和几何平均数的不等关系得出t²与xy之间的关系，最后得到t的关系式，因为x,y＞0,所以t取正值。最后别忘了取等条件！

注：

此处我们可以这么理解：

课题27：不等式的性质（基础）

【例题1】

这道题我们直接就能知道a,c的大小关系，b的关系是未知的，因此我们可以通过b来排除选项，注意不等式中同乘负数要变方向。

【例题2】

比大小，通分作差与0比较大小。

【例题3】

有根号的比大小时，平方也是一种方法。为了更方便比较大小，我们要将形式尽量往一个方向靠。

【例题4】

A.平方差转化，两个相乘的数都大于0，因为a,b＞0，所以相加的大于相减的，a-b只能在0~1之间。

B.举反例，如图。

C.举反例，如图。

D.立方差公式转化，“放小”凑形式，即可得解。

第三单元：函数的概念与性质

课题28：函数的基本概念

一、函数的概念

1. 函数的概念：一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于A集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：

其中,x叫做自变量，y叫因变量。x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合

叫做函数的值域。

我们不难发现，其实函数在高中只是用集合重新定义了函数而已，本质仍然是一样的。自变量（x）和因变量（y）之间通过一个对应关系关系f连接在了一起，为了更好地知道自变量到底是谁，我们用f(x)来代替y。所谓的定义域和值域不过是自变量（自己变化的变量）和因变量（因为自变量变化的变量）的范围。只要确定了两个函数定义域和对应关系相同，这两个函数也就相等了。举个例子：

y（f(x)）=2x，x∈Z

这个函数，x的范围（定义域）和2（对应关系）是确定的，y自然也就确定了。

二、举例讲解

1.

搞清楚定义域和值域是谁的范围。

2.

第一组函数相等，都是y=x.不过要注意一点：

这种根号（根号上标为偶数，上图根号为二次根号）下x需要大于等于0，奇数次根号不需要考虑。

第二组函数我们发现对应关系不同，一个可正可负，一个有绝对值只能为正数，因此函数不相等。

课题29：函数的三大要素（定义域、解析式）（从一到无穷大系列）

上节课讲到，函数相等需要函数的定义域和对应关系相同。

关于函数相等，一哥举了两个例子。

第一组函数由于定义域不同而不相等，因为分数分母不为0。

第二组函数因为对应关系不同而不相等。

而修改函数使他们相等，我们只需要对症下药，哪里不相同就加条件使他们相同即可。第一组函数一哥直接规定了x的范围（定义域），第二组函数一哥则用分段函数表示，实际上与绝对值一样。

而对于定义域的考法有两种：具体和抽象。

1.具体

例如上面一道题，求定义域我们一定要注意范围，这道题考察分数与二次根式，我们能得到两个不等式，解出来x的取值范围即可。最后请写成区间，最好是画数轴，但不要漏掉空心实心。

2.抽象（即自变量不确定）

这道题首先我们弄清一个概念。函数的自变量不一定就是x,它还可以是t等等，即f(x)中x还可以是其他的，如x+2等等。我们要把x看做是一类自变量，看作是一个整体，这样定义域就不会变化啦。这就是为什么（）的范围不变。

所以我们可以据此把定义域求出来，给一个c的范围就是为了这个定义域不是∅。

课题29： 值域上（值域下不会整理在这里）

一、一次分式（分母换元法 ）

解法一：分母换元法 （通法）

本质：分母换元，y也可以用一个字母表示。根据自变量范围可以求出这个字母的范围，则值域通过对应关系可得。

解法二：代值法（此题适用）

二、二次分式

解法一：令x²+2x=t，转化为一次分式的解法。

解法二：直接同乘分母，转化为一元二次方程的问题，讨论∆即可得出值域。（二次项系数是否为0）

三、同次根号

运用整体换元法，又可以转化为二次函数的问题，进而求出值域。

课题30：单调性与最值基本概念

一、知识梳理

注：最大值板块的条件一改为大于等于即可表示最小值，意为函数上任意一点的y值都大于等于M的y值。为保证函数上能有一点能取到M，所以我们需要存在量词命题，即条件二。

二、例题讲解

【方法总结】

1.任意设区间的两个数

2.运用作差法求出取两个数时y值之差，用作差法与0进行比较

3.下结论

课题31：函数的奇偶性

1.知识梳理

以上是奇偶函数的代数意义，奇函数几何意义：关于原点对称；偶函数：关于y轴对称。

根据奇偶函数的几何意义，知道其图像的一半，也就能知道其另一半图像了。然后一哥拓展了对勾函数，求一哥标出来的那两个点，其实就是基本不等式的运用，当x=1/x时，函数取到最小值。

判断函数的奇偶性我们有两种办法，一是看图像；二是运用其代数意义。下面以狄利克雷函数举例：

重要条件：

课题32：对勾函数的性质

1.知识梳理

总结：

1.对勾函数有一般式和变式，变式我们提取公因式即可转化为对勾函数一般式。

2.对于单调性的分界点的坐标，我们运用基本不等式，由于此处y是最小值，大于等于2√x·k/x，当x=k/x时取等，即可求出点的坐标。

3.对勾函数定义域不包含原点！

4.单调性区间之间不能打“∪”。

5.知道对勾函数对称点，其单调性区间也能求出。

2.例题讲解

【例题1】

当我们没有对勾函数的形式时，我们往往可以“凑形”或者换元，这里展示“凑形法”。“凑形”之后，我们可以通过函数的平移（“上加下减”，“左加右减”）进行理解，画图解题。

【例题2】

此题方法与上一题一样。这里展示换元法。但是我们要注意这里求的是最低点坐标，注意所求之间的转化。

【例题3】

这道题一样，使用换元法。但是一定要注意我们的定义域。

【例题4】（此题只看2、3小问，2小问直接作条件使用）

根据题目定义，我们可以先重新转化这个函数，再“凑形”，与前面一样。

课题33：函数对称性与周期性条件翻译

1.知识梳理

前言：

首先我们得明确f(x)到底表示的是什么，x（即“( )”里面的东西）表示的是x轴的横坐标，此时的y值即为f(x)。

一、对称性

这一类条件我们发现他们的横坐标相加为一个常数，我们先回忆一下初中学过的中点坐标公式：（2/x₁+x₂ , 2/y₁+y₂）,题目中x₁,x₂,y₁,y₂已知。那么我们再想，如果这两个点是一个对称的函数上的两个对称的点呢？那么函数的对称轴是不是就可以表示为：2/x₁+x₂。这是关于一条直线对称的情况。

如果我们在条件前面加一个负号呢？我们画图发现是不是函数就关于一个点对称了？所以这类条件想要告诉我们的是这个函数关于一个点对称。

综上所述，我们将同一y的函数的横坐标（即括号内的式子）相加，我们发现是一个常数（即不是未知数的数），那么这个函数一定关于一条直线或者一个点对称。

【思想方法】回想我们是如何推导出来这些结论的？是不是根据题意进行画图分析？这也足以体现出来函数研究与图像分析的紧密联系了。

二、周期性

概述：

注：其中T叫作函数的周期，最小的一个正数T叫作函数的最小正周期。上图所示是周期性的“标准形式”。

我们先用后面一个图进行观察：

我们不难发现这个函数图像以一个周期进行循环，而T的值正好是相邻周期的函数中同一个y值中横坐标之间的距离。以上函数往往有多个对称中心与对称轴，我们只需要跟着条件，把图画出来，一目了然。

【规律总结】（不要死记，掌握方法）

①关于两个点对称的函数周期为单调性区间的2倍

②关于1个点和一条直线对称的函数周期为单调性区间的4倍

③关于两条直线对称的函数周期为单调性区间的2倍

又如上图所示，这些条件往往花样百出，而他们的同一y值的横坐标往往只差一个常数，这时我们考虑它的周期性。我们只需要做的其实就是“凑形”，把它往“标准形式”上靠。这样才能直观地得到它的周期性。

【总结】我们将同一y的函数的横坐标（即括号内的式子）相加，我们发现是一个常数，考虑它的对称性；同一y值的横坐标往往只差一个常数，我们考虑它的周期性。

2.例题讲解（请仔细听一哥讲解）

同一y值的横坐标往往只差一个常数，我们考虑它的周期性。这道题我们只需求出一个周期的和，题目的求和问题就能迎刃而解了。（补充：当定义域中有0时，奇函数一定经过原点）

先“凑形”，找周期，求和。

思路与上题一样。

【概念回顾】

当二次函数a＞0,与对称轴距离越大，y值越大。

解法一：特殊值法

找到关键点：a=0,1，进行讨论。

解法二：分类or平方

转化为一元二次不等式，解出来即可。

课题34：解析式解法大全（中档）

一、框架构建

二、方法讲解

☛方法一：换元法

这类题我们发现括号内不是x，我们就可以试着换元（直接换成x或者换成其他字母后再换成x），找到他们之间的关系，最后反解出来f(x)，写出定义域即可。

☛方法二：待定系数法

这类题我们往往已知函数形式，这时我们就需要运用待定系数法。将每个函数关系用已知函数形式表示出来，最后因为他们系数相等，即可求出a,b,c，进而求出f(x)。

☛方法三：“方程组法”

这类方法适用于函数的代表元素有关系的时候。我们交换他们的代表元素（赋对方的值），就可以得到一个方程组，解出来即可（我们也可以在解的过程中使用换元使方程更清晰）。

☛方法四：特殊值法（与“方程组法”本质一样）

由于这道题未知数是任意的，我们可以通过给未知数赋特殊值找关系。如上题所示，我们令x=y，就能消去许多未知函数，也就运用上了条件f(0)=1。我们不难发现，所谓特殊值法与“方程组法”本质是一样的，都是通过给未知数赋值，找到函数之间的关系，进而求解。

〖一哥总结〗

课题35：值域考点完全解析（中档）

一、结构概述

二、方法讲解

☛ 方法一：图像法

有相加之和，有分式之和，考虑“1”的代换。其中我们可以使用基本不等式，也可以转化为对勾函数最值问题。

☛ 方法二：换元法

齐次，有较多相同项（或者相近项）时使用。

☛ 方法三：判别式法

本质：转化为一元二次函数，根据∆求得值域。其中第一题因为∆＜0，函数值绝对大于0，不用担心x的取值。

☛ 方法四：数形结合法

↑两点间距离公式

☛ 方法五：单调性

根据x取值范围层层分析y的单调性，最后通过作差法确定最终值域。

〖一哥总结〗

课题36：函数单调性解法大全（中档）

一、方法综述

在复合函数板块中，我们从内到外一步一步探讨即可。注：此处f(x)=f(g(x))，因此g(x)的y值即f(x)的x值，我们可以由g(x)的y值的变化趋势推出f(g(x))的变化趋势。

二、例题讲解

☛方法一：图像法

当这个函数能够画出图像时，我们采用图像法。这道题我们遇到绝对值就分类讨论，画出函数图像，找到单调性区间，我们只需要让所求区间为单调性区间的子集即可。

☛方法二：定义法

为使分数有意义，我们可得x的范围，于是我们任意设x₁,x₂，再通过比较他们y值大小得到函数的单调性。

☛方法三：复合函数

这道题用定义法是一道难题。结果无法比较大小关系，我们需要找到函数单调性的转折点，对几个范围进行讨论。

在复合函数的问题之中，我们将函数设为一个整体，画出大致图像，从内到外一层层分析即可。

〖一哥总结〗

课题37：12函数奇偶性完全突破（中档）

一、知识回顾

二、例题讲解

本质:凑出f(x)与f(-x)之间的关系，只不过抽象函数需要赋值。

奇函数定义域关于y轴对称，从而求出b，再将f(2)代入即可求a。

通过奇偶性判断函数图像。

画出大致图像，根据图像找单调性区间，若括号内式子复杂，可使用换元法。

这道题我们一定要想到奇函数的定义，当奇函数定义域有0时，函数一定经过原点（0,0）。

〖一哥总结〗