【趣味数学题】无穷算术-几何级数

2021-07-19 20:47 作者:AoiSTZ23 0人读过 | 我要投稿

郑涛 (Tao Steven Zheng) 著

【问题】

这道题是我高中时最喜欢的数学问题之一！

证明如果 $%7Cr%7C%20%3C%201$ , $a%E3%80%81b$ 都是常数, 计算无穷算术-几何级数 [1]（infinite arithmetic-geometric series）是

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(a%2Bnb)%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B1-r%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bbr%7D%7B(1-r)%5E2%7D$

[1] 算术级数（arithmetic series）也叫 "等差级数"

【题解】

把级数分成两部分

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(a%2Bnb)%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%3D%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20a%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%2B%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20nb%7Br%7D%5E%7Bn%7D$

如果 $%7Cr%7C%20%3C%201%20$ , 第一部分是收敛的无穷几何级数（geometric series, 也叫 "等比级数"）。计算这个几何级数的公式是

$%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20a%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%3D%20a(1%2Br%2Br%5E2%2B...)%20%3D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B1-r%7D$

现在考虑和的第二部分

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20nb%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%3D%20br%2B2br%5E2%2B3br%5E3%2B...$

然后分解出 $br$

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20nb%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%3D%20br(1%2B2r%2B3r%5E2%2B...)$

收敛的无穷几何级数是

$1%2Br%2Br%5E2...%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B1-r%7D$

通过求无穷几何级数的导函数（derivative）, 得

$1%2B2r%2B3r%5E2%2B...%20%3D%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdr%7D%5Cleft(%5Cfrac%7B1%7D%7B1-r%7D%5Cright)$

$1%2B2r%2B3r%5E2%2B...%20%3D%20%5Cfrac%7B1%7D%7B(1-r)%5E2%7D$

所以,

$%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20nb%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Bbr%7D%7B(1-r)%5E2%7D$

因此,

$%20%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%20(a%2Bnb)%7Br%7D%5E%7Bn%7D%20%3D%20%5Cfrac%7Ba%7D%7B1-r%7D%20%2B%20%5Cfrac%7Bbr%7D%7B(1-r)%5E2%7D%20$

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