考研数学06:导函数连续性问题

如果函数在区间内可导，那么函数求导之后的导函数的连续性是怎样的？是否连续？ 其实函数连续性问题就是讨论一点的函数值与函数在该点极限值的关系。同理，导数连续性就是讨论一点导数和导函数极限的关系。这正好就是上一节导函数极限定理讨论的内容。 只有函数在区间内可导，那么讨论导函数的性态才有意义。因为如果函数在区间内存在不可导点，那么函数在包含不可导点的区间内不存在导函数。所以讨论导数性态的前提就是函数在区间内可导，也即导数在区间内处处有定义。那么自然满足导函数极限定理的两个前提条件。所以可以利用导数极限定理来探究导数连续性的问题。 (1)导函数是否可能连续？当然有可能。不仅有可能连续，还有可能可导。也就是二阶导数。 (2)导函数是否可能存在可去间断点?存在可去间断点意味着导函数在某点的极限存在，但是不等于该点的导数本身。而根据导数极限定理，导数极限存在时，该点的导数就等于导函数极限。所以导数不存在可去间断点。 (3)导函数是否可能存在跳跃间断点？跳跃间断点意味着导数左右极限存在但不相等。并且由于导数存在，所以导数在跳跃间断点有定义，函数在该点可导。而根据导数极限定理，当导函数左右极限存在且不相等时，函数在该点不可导。所以导函数不存在跳跃间断点。 (4)导数是否可能存在无穷间断点？无穷间断点意味着导函数在该点极限为无穷，而又因为导数存在，所以导数在无穷间断点有定义，函数在该点可导。而根据导数极限定理，当导函数极限为无穷时，函数在该点不可导。所以导函数不存在无穷间断点。 (5)导数是否可能存在振荡间断点？根据导数极限定理，此时不能判断导函数极限和该点导数的关系，该点导数有可能存在，有可能不存在，需要利用导数定义验证。所以振荡间断点是有可能存在的。 综上。函数在区域内可导，那么导函数只有可能连续或者含振荡间断点。 那么这个结论可不可以换一个角度去理解呢？当然可以。函数在区域内可导，意味着导函数存在。同时，从导函数的角度来看，导函数在区间内存在原函数。所以可以从原函数存在定理的角度探究导函数的连续性。 而根据原函数存在定理：连续函数必有原函数；存在可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点的函数必无原函数；存在振荡间断点的函数可能存在原函数。同样可以得出，函数在区间可导，导函数要么连续，要么只含振荡间断点。