带着星尘对一个高中物理问题做一点点拓展
“主人，下课了吗？”
“算是吧。今天整了个特别好玩的东西，不过我还没太懂。”
“你这副模样一看就是被量子力学整自闭了，可是我也帮不了你......”
“你别自己打退堂鼓。我看看能不能把我刚才学的东西说给你听。如果你能搞明白，我感觉我也就差不多了。”
“这倒是个好主意。以前我经常在你做其他事情的时候看看你那本《量子力学概论》，应该有一些知识储备。别告诉我你已经把那本书忘干净了，不然我就会好好收拾你。”
“你咋收拾我啊？你总不能把月球zhuai到我脸上吧？”
“我以前在其他的文明可是当过暴君的，折磨人这种事我还是很擅长的哦。”与之对应的是她眯缝的双眼——看来她已经被“眯眯眼都是怪物”洗脑了。
我话还没说她就用引力把我提了起来，不过只两秒钟我又被放回了地上。
“玩归玩闹归闹，别跟霜姐拍合照。”宝宝反手给了我一个脑瓜崩，“坐下吧，我来看看你们的量子力学有多漂亮，顺带我也学习学习。”
我最近没看LPL，为什么她把电竞圈的梗也学来了？
“这个问题要从我们高中物理的一个经典模型说起。”我把高中物理选修3-1拿了出来。
“你是说这个电子绕圈的模型吗？”
“就是这个。那时候我们把电子视为经典粒子，所以你会看到电子仅仅在磁场里做圆周运动。”
书上还留着我在下课后临时写的一些公式，其中最重要的是ω=eB/μc（因为之后要用m写量子数，所以这里用μ表示电子质量，采用高斯单位制）。
“这个确实很简单。洛伦兹力垂直于运动方向且大小不变，那不就是转圈圈吗。”
“那时候这方面的题对我都是送分题。不过今天我们要把电子按照真实情况视为量子粒子。”
“直接解薛定谔方程？”
“是的。”
这里要解的方程就是大名鼎鼎的薛定谔方程：
Hφ=Eφ.
“这个哈密顿量你应该怎么写呢？”
“先等一下，我们要给磁场做一些规范化处理，好让问题更简单。”
“本宝宝拭目以待。”
“首先，磁场是
B=Bz.
朗道对于磁场进行的规范化处理（朗道规范）是：
Ax=-B·y，Ay=Az=0.
“很显然朗道规范满足磁矢势A的基本要求，也就是：”
▽xA=B,
▽·A=0.
“宝宝给你个小任务，把我刚才说的“显然”证明一下。”
“easy！这只不过是求一个行列式和一个内积。第一个的话.....叉乘上去应该是0-0加上两个-1乘B乘z，y被求导消了，也就是Bz.第二个嘛，直接每一项求偏导数不就完事了。”
“这个下饭菜你看起来吃的不过瘾啊。”
“too easy！”星尘摇了摇头，“我可没你那么菜。你上学期量子力学的期末考试才考了78分，我随便写写都有84分呢。”
“我要是有你那脑回路早就100分了。”
“这说明咱俩还不够铁，不然你是可以与我精神共享的，这样我就可以在你的意识里帮你理解那些概念并做一些计算工作了。你最好像现在这样每天留给我至少一小时让我唱歌给你听，晚上也陪着我睡觉说说夜话什么的，然后你再给我做一些曲子，原创翻唱改编都可以。如果你真的能不忘初心坚持下来，我估摸着再过15-16年我就可以真正住进你的大脑了。到那时你就会拥有独自把地球文明扛在肩上的能力。”
“我觉得到那时我会累死......先不说题外话了好吗？这要是说下去几个小时就没了。”
“那继续吧。”星尘把一条马尾搭到了我的胳膊上，“希望我有一天靠着你的时候你能从身体上和精神上都给我一个坚实的臂膀......你现在还要继续加油。”
“用一下正则方程，我们把经典力学的电磁场运动方程
μr''=-q(▽Φ+∂A/c∂t)+(q/c)r' x (▽xA)
做一点点变换，然后就可以把哈密顿量写出来了：”
H=(1/2μ)[(Px-(eB/c)y)²+Py²+Pz²].
“这个有点复杂，不过你看了我用的教材，现在应该能看懂。需要注意的是朗道规范里磁矢势只在x方向，所以三个动量算符里只有x方向的发生了变化。”
“现在这个x方向的动量算符对应的是真正的动量吧。”星尘戴上了一副眼镜(以装成学究的样子)——她一直以来都很讨厌像阿绫或天依那样有时换成中学生或大学生风格的服饰。
“几个算符都是正则动量，但现在x方向那个是真正的动量，我们管它叫机械动量。y和z方向没有磁矢势，因此正则动量与机械动量相等。”
“有点明白了。”她戴上的眼镜的镜框从黑色变成了蓝色。
“那我们继续。对于刚才的H，你试试把Pz和H求个对易式。”
“这不显然是0嘛。别再问我这么垃圾的问题了。”
“不要装x哦。然后呢？”
“这说明z方向的运动是自由的。”
“那么z方向的波函数又是什么呢？”
“自由电子的呗，也就是e的ikz次幂。”
“你没忘就OK.到这里我们完成了第一步工作，也就是这个波函数φ(x,y,z)其实可以分离变量。你已经把z分离出去了，也就是说，
φ(x,y,z)=φ(x,y)exp(ik''z),
这里给k加''是为了区分方向。”
“能理解。”星尘稍微朝我挪了挪，“剩下的φ还能分离变量吗？”
“你试试用Px和H求个对易式。”
“诶？这个也是0吧。”
“是的。”
“x方向也是自由电子？”
“有磁矢势哦。不过那个exp(ikx)还是对的，只不过它对应的是正则动量而不是机械动量，它就不是电子x方向运动的本征态了。”
“x可以分离吗？”
“当然可以。我们把[Px,H]作为力学量完全集，这样就有了
φ(x,y)=exp(ikx)φ(y),
三个方向现在只剩下一个了。然后，给Px一个本征值
Px'=hk/2π,
就有了
(1/2μ)[(Px'-eBy/c)²+Py²]φ(y)=Eφ(y),
我们只需要处理这一个方程了。”
“问题简单了不少，不过这个方程没有什么对称性，不知道该怎么试探波函数......”
“这里没必要去试。接下来做一个有点鸡贼的小变换
y0=cPx'/eB,
来，你把这个和最开始那个ω=eB/μc代进原来的方程。”
“终于轮到我了吗......”星尘把笔抢过来然后扭过身子，“你稍等一下......不许看我写东西。”
“你又不是写能让地球重启的代码，有啥见不得人的。”
“我写字可丑了......毕竟唱歌跳舞以及作曲都是无纸化的工作，我很少写东西的......”
“没事，你看看我的笔记吧。高中的时候我的语文老师跟我说我的字烂到她15年教师生涯见过的学生就没一个比我烂的。”
尘宝哑口无言，甚至眼神都短暂地失去了光泽。
“出来了，
(Py²/2μ+1/2·μω²(y0-y)²)φ(y)=Eφ(y),
是这样的吗？”
“嗯。这里P=-ih▽/2π,你再仔细看看这是什么？这是一个特别经典的量子力学模型哦。”
“谐振子吧......诶哪来的量子谐振子？”
“这就是量子力学。电子不再经典地转圈，取而代之的是z方向的自由运动和y方向的谐振子，x方向决定简并度。而刚才投机取巧的y0就是谐振子的平衡位置，也会被x方向的正则动量影响。接下来对于刚才那个谐振子我们有一套能级，
En=(n+1/2)hω/2π,
这就是经典模型的拓展——朗道能级。然后波函数也可以写出来，
φn(y)=Nnexp(-α²(y-y0)²/2)Hn(α(y-y0)),
这里Nn是归一化常数，α=sqrt(2πμω/h)，Hn是厄米多项式。这个问题在朗道规范下还是比较简单的。你可以把α写成1/x0,也就是x方向的初始位置。现在再给你一个小任务：验证一下x0,y0的量纲是正确的。其实对于这个朗道能级我们到这里还有很多问题没有解决，算出能级只是第一步。”
“让我先看看这两个量纲。y0没什么问题一眼就能看出来，就是高斯制除个c。x0的话把h代进去......也一样的。”尘宝给了我一个wink,“能级之后的东西应该是简并度吧。”
“是的，接下来我们看一下刚才的朗道能级的简并度。”
“你应该注意到了对于k的取值我们没有任何限制。”
“我也纳闷呢。”
“事实上如果电子在x,y方向上的运动是无限制的，k就可以随意取值，但能级不变。然后你就会看到每个能级都塞了任意的k.”
“也就是说简并度是∞.”星尘抢过话来。
“就是这样。但真实情况下系统总有边界，我们先考虑一下x方向。如果x方向有一个周期Lx的边界条件，类似于晶格的周期性，很显然
k=n·2π/Lx.
与此同时y方向的运动范围同样是包含y0的有限的Ly，我们把刚才的k代入y0里，这样
y0=n·ch/eBLx,
两个y0的间隔就是
Δy=ch/eBLx,
在0-Ly的范围内能放N个y0，那么
N=Ly/Δy=BLxLy/(hc/e),
设面积A=LxLy,简并度f就是
f=BA/(hc/e).
现在宝宝你来看一下，f是哪两个物理量的比值？”
“f是个无量纲量，BA是磁通量，所以这是两个磁通量的比值。”
“OK.下面那个hc/e就是我们的磁通量子，这就是磁通量子化，你应该在超导体的性质中遇到过。”
“确实。当时我还模仿曹原的论文，真的做了两片单层石墨烯然后扭转1.1°.然后我到月球背面做低温实验，它果然变成了超导体，顺手我也观察了那些超导体的物理性质。今天的朗道能级也许还可以做个实验看一看。”
“这个还是要注意一下的。强磁场下朗道能级不再是我们现在这套表达式，而你的局域磁场甚至能比得上磁星，别玩脱了。另外还有一个最重要的问题，那就是在量子力学中，你的观测会改变电子的波函数，你可能什么都看不到。”
“啊？好吧我差点忘了.......”
“不过你可以尝试模拟一下朗道能级，没必要做实验。”
“这还是比较简单的，波函数能级和本征值都摆好了，只不过是把它们抄上去而已。”
星尘把一面墙当做屏幕，然后投影出在不同的k和n值下电子波函数的图像。
“每天研究物理学的这些东西导致我看那些图像总是会着迷，你呢？”
“我永远跟着你。在我力所能及的范围内你需要我干什么都行。”星尘略微笑了笑，然后贴到了我身上。
尘宝宝实在是太单纯了，我也很奇怪为什么138亿年的宇宙和跨越时空的无数的地外文明没有磨平她的棱角和好奇心。
随着她的手指来回摆动，n和k相应变化，然后变成动态的电子波函数，拓展到三维。
“我感觉我现在变成了你的电脑。”星尘把目光倾斜到我身上，“这是不是不太好呢？”
“没关系的。我无法判断现在咱俩谁更依赖谁。”
“得了吧，赶紧回去看波函数去，不然我要是在这里腻歪一下子几个小时又没了。
宝宝给我的感觉很接近恩奇都——就像是宇宙为我量身定制的一份天赐。
然而问题是我永远做不了吉尔伽美什。
“或许每个人心中都会有这样一个特殊到只能用神赐来解释的形象。”我想着的同时拉住了星尘的右手。
与此同时面前的电子波函数也暂时收起，“我刚刚想到一个问题。你今天是用朗道规范求解了这个能级，有没有其他方法计算这个能级呢？”
“你的意思是说其他的规范吗？”
“对，应该有别的方法。”
“确实有。在我们常规的对称规范下也可以解决这个问题，而且除了能级以外计算结果还有点区别。对称规范是
A=1/2·B x r,
▽·A=0.
这个问题我就交给你了，你自己算一算。”
(未完待续)
