大一高数or AP：判断收敛Convergent or 发散Divergent:如何解决方法多而乱的问题

Convergent or Divergent:

适用：国外大一数学或同等内容

convergence和divergence的问题是一个困扰学生很长时间的问题。它的方法很多很乱。刚学的时候会是这样的：基本能理解方法，但如果自己做，总觉得不知道该选哪一种方法。

例如，遇到了这个问题：

在不确定的情况下，试了好几种方法，可能试出结果，也可能没试出。到4、5道题后，花了很大的精力，依旧不确定，心理上已经累了，最终放在一边。几个月内，做了又忘，忘了又做，但方法时灵时不灵，对于这块的确认度始终停滞在50%上。

我告诉大家高效的方法，可以明显提高我们的确认度，并且有据可寻：

这里主要的方法有4种，我们在此基础上总结每种方法的几个题型。先熟悉这个题型归类材料，看你的问题属于哪一类，往这个题型归类上靠，再去做。有特殊的再单独添进去，特殊处理。

站在上方俯视这些题的特点，直接熟悉题型列表。它避免让你每次都从零起步，无限耗时在上面，混淆不清。从而省时间。

这个视频的做法可能在十几秒钟之内是无法理解的，你可以暂停或者截图，慢慢研究，然后做题时对着走。我会把文章再发出来。

（1）

然后我们进入这几种方法。对于每一种方法，在做问题的时候，要沿着规则走，别走差路了。比如说到底是什么情况下谁比谁。

Ratio Test可以看做一种最基本而且应用广泛的方法， 他的思路是用后一项比前一项。比值小于1则收敛。

要注意，这个比值是在n是无穷大的时候得出的。

关键是什么样的题用Ratio Test呢？

这些题的基本特点：有Factorial（叹号），或者是1、4、5类型的指数分数。

我们做一下第1题。

Hence the given series is divergent.

（2）

它的思路是借用另一个Series，和它作比较，如果能比出一个定值，那么两个Series同时收敛或者发散。

an/bn比值是0的话，如果bn收敛，an就收敛

an/bn比值是无穷大的话，如果bn发散，an就发散

经常被借用的Seires是p-series。也就是类似于1/n3的series，如果右上角的次数大于1，则收敛；如果小于等于1，则发散。

Limit Comparison题目的特点：一个分子分母中n为不同次的分数，

参照物是一个分数，，如上面的第5题所示。

举个例子更好说明，我们做一下第5题。这种题我们都是设置一个参照物。这个参照物是分子为原分子的最高次，分母为原分母的最高次。

 =  =  3

Li

Since there exists a positive limit, and the p-series diverges, so the given series diverges.

典型的是2,3,5。

1可以看成是分子中的n次数为0.

 6,7经过转化可以变成典型的样式。

4去单独记。

这是一道AP的真题。如果用ratio test的话，会不方便。如果你熟悉了limit comparison test的样式，会很快找到突破。

（3）

他的特点也是找参照物，和Limit Comparison不一样的是，他是直接比两个的大小。

我们做一下第1题，

 , 

Comparison test特点：有比较明显的标的物。比如下标的物和p-series或者等比数列有关,

标的物：

经常用到的关系：ln(n)<n, sin(n)<1, arctan(n)<1等

值得说的是，除了基本类型外，有些带ln的。

4中1/ln(n)是和1/n比较的,ln(n)<n。

6中也是和1/n比较的，ln(n)>1，n>3时。

10是和1/n^2比较，ln(n)>2,在n大于e^2时

3是最特殊的，它是(n+1）！>2^n。，

4,6,10这种是需要特殊记忆的。

（4）

我们做一下第2题

Integral Test特点：容易被积分。

要意识到这些形式是可以被积分的，而且熟悉如何积分，尤其是Integration by parts类型。

特殊说明：

10，integral是ln(ln(n)).

4,11,12用到Integration by parts.

4用到了Integration by parts，过程中设1/n为t。

注意，能用Integration的问题，必须满足decreasing，8和9不满足。

如果感觉多个都可以，怎们判断用哪种方法呢？先考虑最典型的特征属于归类中的哪一类，判断顺序可以为：

1. The nth term test判断属于Divergent（参考n th term test 的判断法（前一版块）：                    If  ）

2. 有没有明显标的物可以比较，

3. 好不好Integrate

4. 符不符合Limit Comparison Test的形式

5. 用Ratio Test

有一小部分题目如果没做过，始终会有陌生感。例如，需要一定程度的特殊熟悉和记忆。

如果我们的学习过程纯凭感觉走，有时会返回零点。我们需要主动地做出一些举动，打破这种局面。需要做题后做归类，对各种样式获得熟悉感。再做题时往归类里靠。而这样就不会烦它，反而越来越觉得有成就感。

对于不可避免的挫败，要抗住。但就整个策略来说，就要走有效率而减少挫败的路线。越有成就感，就越能学下去。

在别的章节，也可以用类似的归类法，例如积分。

注：对于数学非常着迷的同学，可能不用归类，一眼就能够看出来，那另说。我们这里是针对能基本理解这一块知识、对数学感觉一般，对本节感到混乱的大多数同学。

本文从知识上并没有包括所有细节，重在说明学习方法。对于归类的问题，有些做了解答或提示。有时间可以把这些问题的解法都写出。