（已排版）2023.6 湖州高二期末数学选择、填空的解析和二次开发

2023-06-29 09:35 作者:ajsadhotmail 0人读过 | 我要投稿

导航：在前面有试卷和选填的解析，后面有逐题的简评和适当的练习供二次开发使用。

先上试卷与解析：

简评：

试卷中的中档题占比过多，颇有2022年新高考一卷的遗风，但是放在高二的试卷中显然不太合适，区分度也显得较低。此类区分度较低的试卷通常会像如来佛一样狠狠地把学生压在五指山下。

二次开发：

选择题部分

第1题，集合题，属于基础题，也是全卷唯一的不拐弯抹角的题。

练习：2023年新高考一卷·第1题。

已知集合M={-2,-1,0,1,2}， $N%3D%5C%7Bx%7Cx%5E2-x-6%5Cgeq0%5C%7D$ ，则M∩N=

A. {-2,-1,0,1}

B. {0,1,2}

C. {-2}

D. {2}

答案是C。

第2题，复数题，属于基础题。把左边的除到右边去还要再计算一下，并且题目问的还是共轭复数，要绕两个弯。

第3题，函数题，属于中档题。首先要使用对数换底公式将这个对数式子转化为两个 $%5Cln$ 值的商，而后根据对数运算法则观察到 $%5Cdfrac%7B%5Cln3x%7D%7B%5Cln%20x%7D%3D%5Cdfrac%7B%5Cln%20x%2B%5Cln%203%7D%7B%5Cln%20x%7D$ ，转化为一个复合函数求解。这个难度的题目放在第3题的位置过于难了。去年湖州高二期末第3题还是正态分布。

练习1：2018年全国III卷理·第12题。

设 $a%3D%5Clog_%7B0.2%7D0.3$ ， $b%3D%5Clog_20.3$ ，则

A. a+b<ab<0

B. ab<a+b<0

C. a+b<0<ab

D. ab<0<a+b

答案是B。同时出现ab和a+b考虑构造 $%5Cdfrac%7B1%7D%7Ba%7D%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7Bb%7D$ ，同时观察到 $%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7Bab%7D%3D%5Clog_%7B0.3%7D0.2%2B%5Clog_%7B0.3%7D2%3D%5Clog_%7B0.3%7D0.4$ ，且 $0%3C%5Clog_%7B0.3%7D0.4%3C1$ 。

练习2：2017年全国I卷理·第11题。

设x，y，z为正数，且 $2%5Ex%3D3%5Ey%3D5%5Ez$ ，则

A. 2x<3y<5z

B. 5z<2x<3y

C. 3y<5z<2x

D. 3y<2x<5z

答案是D。不妨设 $2%5Ex%3D3%5Ey%3D5%5Ez%3DA$ ，则 $2x%3D%5Clog_2A%3D%5Cdfrac%7B2%5Cln%20A%7D%7B%5Cln%202%7D%3D%5Cln%20A%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B2%7D%7B%5Cln%202%7D$ 。同理， $3y%3D%5Cln%20A%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B3%7D%7B%5Cln%203%7D$ ， $5z%3D%5Cln%20A%20%5Ccdot%20%5Cdfrac%7B5%7D%7B%5Cln%205%7D$ 。要比较这三个值，只需要构造 $f(x)%3D%5Cdfrac%7Bx%7D%7B%5Cln%20x%7D$ ，研究其单调性，比较f(2)，f(3)和f(5)的值即可。

练习3：2022年新高考I卷·第7题。

设 $a%3D0.1%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D$ ， $b%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D$ ， $c%3D-%5Cln%200.9$ ，则

A. $a%3Cb%3Cc$

B. $c%3Cb%3Ca$

C. $c%3Ca%3Cb$

D. $a%3Cc%3Cb$

答案是C。首先观察到 $c%3D-%5Cln0.9%3D%5Cln%20%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7D%3D%5Cln%20%5Cleft(1%2B%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D%5Cright)%3C%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D$ ，排除A；由 $%5Ctextrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cgeq%20x%2B1$ 可得 $%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B-x%7D%20%5Cgeq%201-x$ ，故 $%5Ctextrm%7Be%7D%5Ex%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B1-x%7D$ 。由此 $%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%20%3C%20%5Cdfrac%7B10%7D%7B9%7D$ ，故 $0.1%20%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%20%3C%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B9%7D$ ，排除B；接下来比较 $a$ 与 $c$ ， $a-c%3D0.1%5Ctextrm%7Be%7D%5E%7B0.1%7D%2B%5Cln(1-0.1)$ ，构造 $f(x)%3Dx%5Ctextrm%7Be%7D%5Ex%2B%5Cln(1-x)$ ，然后判断正负性即可求解。

第4题，概率题，属于中档题。取法来源于2021年新高考I卷第8题。但是放在第4题显然是在搞人心态。此题的AB和D选项不难判断，C选项还要用二项分布算概率，计算量蹭的就上去了。这里再放一放母题。

练习：2021年新高考I卷·第8题。

有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取 $1$ 个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则

A. 甲与丙相互独立

B. 甲与丁相互独立

C. 乙与丙相互独立

D. 丙与丁相互独立

答案是B。判断相互独立，黄金标准是P(AB)=P(A)P(B)。至于具体概率的计算，使用古典概型。

需要注意的是“互斥”与“相互独立”不会同时发生。因为如果两个事件互斥且概率不等于 $0$ ，P(AB)=0，显然不会等于P(A)P(B)。用定义来解释，就是说一方的发生必然会影响另一方的不发生。

第5题，三角函数题，属于中档题，取法同样来源于高考题。其本质是根据题目中的条件求出ω的取值范围。但是也明显太靠前。有关三角函数求出ω的取值范围的题目在高考题中屡见不鲜，以下列举几例。

练习1：2023年新课标I卷·第15题。

已知函数 $f(x)%3D%5Ccos%20%5Comega%20x-1%20(%5Comega%20%3E0)$ 在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是_________________．

答案是[2,3)。使f(x)有且仅有3个零点，就是要使得cos ωx=1有且仅有3个解。那么4≤2πω<6，故2≤ω<3。

练习2：2022年全国甲卷理·第11题。

设函数 $f(x)%3D%5Csin%5Cleft(%5Comega%20x%2B%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%5Cright)$ 在区间(0, π)恰有三个极值点，两个零点，则 $%5Comega$ 的取值范围是

A. $%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B5%7D%7B3%7D%2C%5Cdfrac%7B13%7D%7B6%7D%5Cright)$

B. $%5Cleft%5B%5Cdfrac%7B5%7D%7B3%7D%2C%5Cdfrac%7B19%7D%7B6%7D%5Cright)$

C. $%5Cleft(%5Cdfrac%7B13%7D%7B6%7D%2C%5Cdfrac%7B8%7D%7B3%7D%5Cright%5D$

D. $%5Cleft(%5Cdfrac%7B13%7D%7B6%7D%2C%5Cdfrac%7B19%7D%7B6%7D%5Cright%5D$

答案是C。同样是把括号内的内容看作一个整体带入sin x求解。

第6题，向量题，属于中档题。这一题相比于前面几题较为友好，运算也较为简洁。得出两个向量的夹角为120度，然后画图即可。

第7题，排列组合题，属于中档题。这一题可以采取“小枚举”的办法。因为甲和乙排在一起的情况较少，且左边和右边对称，所以简单分3类即可解决问题，不过计算量是稍微有点的。

第8题，抽象函数题，属于中档题，取法来源于2022年新高考I卷。在解析以外，可以注意若f(x+a)=f(b-x)，则 $f(x)$ 的图像关于 $%5Cdfrac%7Ba%2Bb%7D%7B2%7D$ 对称，换言之，就是把括号内的两个式子加起来除以2，对称性也是同理。本题中f(1+2x)是偶函数，则f(1+2x)=f(1-2x)，故f(x)关于x=1轴对称。同理，关于(2,0)中心对称。轴对称加中心对称等于周期。类比三角函数，对称轴和对称中心的距离是 $%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 个周期。本题的难度反而不大。

练习：2022年新高考I卷·第12题。

已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为 $%5Cmathbb%7BR%7D$ ，记g(x)=f'(x)，若 $f%5Cleft(%5Cdfrac%7B3%7D%7B2%7D-2x%5Cright)$ ，g(2+x)均为偶函数，则

A. f(0)=0

B. $g%5Cleft(-%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%3D0$

C. f(-1)=f(4)

D. g(-1)=g(2)

答案是BC。本题涉及到一个常用结论：原函数的对称轴是导函数的对称点，原函数的对称点是导函数的对称轴。

证明：若f(x)=f(2a-x)，则两边同时求导可得f'(x)=-f'(2a-x)，故中心对称；f(x)+f(2a-x)=0，则两边同时求导可得f'(x)=f'(2a-x)，故轴对称。需要注意的是，原函数求导后的常数项会消失，所以A选项是错误的。

第9题，概率统计题，属于基础题。需要注意的是残差的定义：残差＝实际值－估计值（有正负）。

第10题，三角函数题，属于基础题。本题同样是把括号内的一团代数式看为一个整体。

练习：2022年新高考II卷·第9题。

已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像关于点 $%5Cleft(%5Cdfrac%7B2%5Cpi%7D%7B3%7D%2C0%5Cright)$ 中心对称，则

A. f(x)在区间 $%5Cleft(0%2C%5Cdfrac%7B5%5Cpi%7D%7B12%7D%5Cright)$ 单调递减

B. f(x)在区间 $%5Cleft(-%5Cdfrac%7B%5Cpi%7D%7B12%7D%2C%5Cdfrac%7B11%5Cpi%7D%7B12%7D%5Cright)$ 有两个极值点

C. 直线 $x%3D%5Cdfrac%7B7%5Cpi%7D%7B6%7D$ 是曲线y=f(x)的对称轴

D. 直线 $y%3D%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D-x$ 是曲线y=f(x)的切线

答案是ACD。

第11题，不等式题，属于中档题。不等式综合题在2022年新高考II卷、2020年海南卷均在多选题后两题的位置出现，证明了其重要的地位。通过使用一次基本不等式，可以解出 $a%5E2b$ 的范围，从而解决CD选项；对于AB选项，更稳妥的方法是通过构造函数。此题提醒了我们：通过一端变量范围的限定来推断另一端变量的范围。如 $b%3D1-a%5E2$ ，且b>0，故 $a%5E2%3C1$ ，即0<a<1。

练习1：2020年新高考II卷（海南卷）·第12题

已知a>0，b>0，且a+b=1，则

A. $a%5E2%2Bb%5E2%5Cgeq%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D$

B. $2%5E%7Ba-b%7D%3E%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D$

C. $%5Clog_2a%2B%5Clog_2b%20%5Cgeq%20-2$

D. $%5Csqrt%7Ba%7D%2B%5Csqrt%7Bb%7D%20%5Cleq%20%5Csqrt%7B2%7D$

答案是ABD。由 $1%5Cgeq%202%5Csqrt%7Bab%7D$ ，则 $ab%20%5Cleq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D$ 。则A选项， $a%5E2%2Bb%5E2%3D1-2ab%5Cgeq%20%5Cdfrac%7B1%7D%7B2%7D$ ；B选项，可以选择构造函数，a-b=2a-1；CD选项和A同理，均是运用ab的取值范围。

练习2：2022年新高考II卷·第12题

若 $x$ ， $y$ 满足 $x%5E2%2By%5E2-xy%3D1$ ，则

A. x+y≤1

B. x+y≥-2

C. $x%5E2%2By%5E2%5Cleq%202$

D. $x%5E2%2By%5E2%5Cgeq%201$

答案是BC。由于 $x$ 和 $y$ 均没有限定是正数，因此本题更难入手。对于ABC选项而言， $(x%2By)%5E2%3D1%2B3xy%5Cleq1%2B3%5Cleft(%5Cdfrac%7Bx%2By%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2$ ，解得 $(x%2By)%5E2%5Cleq4$ ，因此A错误，B正确。对于C选项也同理， $(x%5E2%2By%5E2)-1%3Dxy%5Cleq%5Cdfrac%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%7B2%7D$ 解得 $x%5E2%2By%5E2%5Cleq2$ ，正确；对于D选项而言，可以采用三角换元， $%5Cleft(%5Cdfrac%7B%5Csqrt%7B3%7Dx%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%2B%5Cleft(y-%5Cdfrac%7Bx%7D%7B2%7D%5Cright)%5E2%3D1$ 。

第12题，函数题，属于较难题。取法来源于2021年新高考II卷第16题，但是将其改编为多选题后变相增加了难度。设切线得出斜率的关系，然后即可得知a+b=0。此外C选项较为困难，将其化为单变量函数以后还需要求两次导，D选项即为母题的答案。

非选择题部分

第13题，排列组合题，属于基础题。列出通项以后即可求解答案。

练习：2022年新高考I卷·第13题

$%5Cleft(1-%5Cdfrac%7By%7D%7Bx%7D%5Cright)(x%2By)%5E8$ 的展开式中 $x%5E2y%5E6$ 的系数为___________________．

答案是-28。

第14题，概率统计题，属于基础题。本题运用到正态分布密度函数的对称性。且顺带一提， $%5Csigma%20$ 表示的是标准差，方差还需要在此基础上做平方。

第15题，概率统计题，属于中档题。本题如果使用按部就班的方法会很烦很烦。考察计算能力，但是似乎出现在这个位置非常不合适。

此外对于分层随机抽样的平均数和方差，有如下的结论。

如果第一层的个数为 $m$ ，方差为 $S%5E2_1$ ，平均数为 $%5Cbar%7Bx%7D%20$ ；第二层的个数为 $n$ ，方差为 $S%5E2_2$ ，平均数为 $%5Cbar%7By%7D$ ，则样本平均数 $a%3D%5Cdfrac%7Bm%5Cbar%7Bx%7D%2Bn%5Cbar%7By%7D%7D%7Bm%2Bn%7D%20$ ， $S%5E2%3D%5Cdfrac%7Bm%5BS%5E2_1%2B(%5Cbar%7Bx%7D-a)%5E2%5D%2Bn%5BS%5E2_2%2B(%5Cbar%7By%7D-a)%5E2%5D%7D%7Bm%2Bn%7D$ 。