很水的数学分析087：幂级数的分析性质

#练习生打卡

上节课讨论收敛域（除端点），这节课讨论分析性质（跟换序问题紧密相连）。

1.三个例子表明幂级数在端点处的敛散情况需要单独讨论。

2.讨论分析性质。

①Weierstrass判别法保证幂级数在(-R,R)上内闭一致收敛，从而幂级数的和函数在(-R,R)上连续（可逐项求极限），且Riemann可积（可逐项积分），又由上极限的性质推导出幂级数的和函数在在(-R,R)上存在任意阶导数（可逐项任意阶求导）。

刚才这段话已经说明做这些操作不改变收敛半径。

②感想：在学微积分的时候幂级数逐项求导和逐项积分都是默认可以的，直接计算就行。学数学分析才能意识到本来这样做是有风险的，保证这样做合理需要花费很大的心思，从证明过程可以看到，之前铺垫的内闭一致收敛、Weierstrass判别法、上极限性质等等都派上了大用场。

3.Abel第二定理开头。

①意思：如果一个幂级数在端点收敛，则在端点处单侧连续。

②证明：call back之前讲Abel判别法的时候说它的重要作用是证明Abel第二定理。

③深刻内涵下节讲。