【数学基础30】每天三道题（数学分析+解析几何+线性代数）

预备知识：

1. 数列lim n^（1/n）=1，lim a^（1/n）=1，a>0；

2. 收敛数列{an}极限为a，则an=a+ɑn，其中{ɑn}为一个无穷小；

3. 收敛数列必有界；

4. 有限个无穷小的和还是无穷小；

5. 有界数列乘以无穷小的积还是无穷小；

6. 设lim an=a，则lim（a1+a2+……+an）/n=a；

7. 设lim an=a，lim（a1+2a2+……+nan）/（1+2+……+n）=a；

8. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（a1+2a2+……+nan）/n=0；

9. 设lim（a1+a2+……+an）=A，lim（n！a1*a2*……*an）^（1/n）=0.

10. 定比分点：在线段P1P2上求一点P，使得由P分成的两个有向线段P1P与PP2的量的比为定数λ（λ不为-1），即P1P/PP2=λ，则P为线段P1P2以λ为定比的分点，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分点公式。
    

11. 矩阵乘法运算律——

    a.结合律：（AB）C=A（BC）

    b.左分配律：A（B+C）=AB+AC

    c.右分配律：（B+C）D=BD+CD

    d.若A是n级矩阵，单位矩阵为E，则有：AE=EA=A

    e.矩阵乘法与数量乘法满足：k（AB）=（kA）B=A（kB）

    f.可逆方阵：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称B为A的逆方阵，而称A为可逆方阵。

12. 矩阵A可逆的充要条件：|A|不为0——|A|为矩阵A对应的行列式。

13. 矩阵对应行列式满足：|AB|=|A||B|；

14. 设A与B都是数域K上的n级矩阵，如果AB=E，那么A与B都是可逆矩阵，并且A^（-1）=B，B^（-1）=A。

15. A的伴随矩阵A*满足：A*=|A|A^（-1）

16. E（i，j）为单位矩阵i，j行对调——
    

    方阵A可逆，A对调i，j行成B矩阵：B=E（i，j）A

    方阵A可逆，A对调i，j列成B矩阵：B=AE（i，j）

17. 矩阵的转置：把n级矩阵A的行与列互换得到的矩阵称为A的转置，记作A'，|A'|=|A|。

18. 定义：设A为方阵，若A'=A，则称A为对称矩阵，若A'=-A，则称A为反对称矩阵。

19. 定义：如果AB=BA，则称A与B可交换。

20. 矩阵转置运算律——

    （A+B）'=A'+B'

    （kA）'=kA'

    （AB）'=B'A'

参考资料：

1. 《数学分析习题演练》（周民强 编著）

2. 《空间解析几何》（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）

3. 《高等代数——大学高等代数课程创新教材》（丘维声 著）

数学分析——

例题（来自《数学分析习题演练（周民强 编著）》）——

试求下述数列{an}的敛散性：an=（bn+bn^2+……+bn^m-m））/（bn-1）（bn不为1，lim bn=1）

解：

1. 已知m次方差公式：（bn^m-1）=（bn-1）[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]；

2. an

   =（bn+bn^2+……+bn^m-m））/（bn-1）

   =[（bn-1）+（bn^2-1）+……+（bn^m-1）]/（bn-1）

   ={（bn-1）+（bn-1）（bn+1）+……+（bn-1）[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]}/（bn-1）

   =1+（bn+1）+……+[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]

3. lim bn=1，则

   lim an

   lim{1+（bn+1）+……+[bn^（m-1）+bn^（m-2）+……+1]}

   =1+（lim bn+1）+……+[lim bn^（m-1）+lim bn^（m-2）+……+1]

   =1+2+……+m=m（1+m）/2.

解析几何——

例题（来自《空间解析几何（高红铸 王敬蹇 傅若男 编著）》）——

对于不共线的两个向量a，b，证明（axb）^2=a^2b^2-（ab）^2.

证：

1. 由外积定义，有（axb）^2=|axb|^2=a^2b^2*sin∠（a，b）^2；

2. 由内积定义，有（ab）^2=|ab|^2=a^2b^2*cos∠（a，b）^2；

3. 所以有：（axb）^2=a^2b^2-（ab）^2.

高等代数——

例题（来自《高等代数——大学高等代数课程创新教材（丘维声 著）》）——

证明：设A是n级矩阵，则|AA'|=|A|^2.

证：|AA'|=|A||A'|=|A|^2.

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