凸透镜成像轨迹方程的一般结论及原理剖析

前言：此专栏经观看一位数学爱好者的视频后有感而发，以下是我对视频内容作的个人探究

(原视频详见:BV1S34y1Y7Tb)

由于视频很火，所以在我的整活视频下面看到，另一个《电摇物理》的整活视频也是。(也有点变向夸自己的视频也比较火的意思吧hh[doge])

既然出现很多次，那干脆对其研究一番。

如图所示，设y轴左侧为置物区，y轴右侧为成像区

在置物区取一置物点为

其在y轴上的投影点为

则光线所在直线方程为：①

光线所在直线方程为:②

两直线交点即成像点

联立①②解得：

(1)

即

因此，若已知置物点坐标(即已知)，代入(1)式则可求得对应的唯一的一个成像点坐标

而若已知成像点坐标，则可通过(1)式解方程得出对应的置物点坐标(将用表示)

由得，

代入得，，解得：

即(2)

因此，若已知成像点坐标(即已知)，代入(2)式则可求得对应的唯一的一个置物点坐标

上述即证明置物点和成像点有一一对应的关系(数学上称为一种映射)

若置物点在一约束轨迹上运动，则满足

根据上述结论可知成像点也在另一约束轨迹上运动，求这一轨迹需求得之间的关系式

而已知这一关系式，若将用表示，则找到了之间的关系式，即找到了轨迹方程

由(2)式得，，则

因此成像点在约束轨迹上运动

上述求解过程运用的是相关点法

下面拿视频中现成的题实践下

1.设f=5，置物轨迹为一矩形，

其方程为：

(ps:这个方程可由经线性变换和平移变换得到，这里不作讨论重点)

则成像轨迹需将换成,将换成

得到成像轨迹方程：

图像如下：

2.设f=5，置物轨迹为一圆，

其方程为：

则成像轨迹需将换成,将换成

得到成像轨迹方程：

经化简(可跳过)

得：

这是个经标准型椭圆经平移得到的椭圆

图像如下：

对于相关点法，若感兴趣，可尝试按如下的思路进行理解：

(不完全是自己想出来的，但至少独立思考占比较大)

已知一置物点，将其作变换可得成像点

则将运动轨迹上的所有点做这一变换，所有变换后的点即构成运动轨迹

若我们采用逆向思维，我们便会上述方法的精妙之处

作变换可得，那么作逆变换则可得

也就是说，运动轨迹是满足作逆变换后落在轨迹上的点集合

换而言之，若一个点经这一逆变换后落在轨迹上，则这个点在的运动轨迹上

那么思路就瞬间清晰了，设

对其作逆变换，得

P点在轨迹上，则

如上则是对相关点法本质的剖析。

相关点法就是用于求与某一点集相关联的另一点集轨迹的方法

相关关系可视为一个可逆的变换

为找到这一约束关系，我们需要设点P(x,y)，先对其作逆变换，再将其代入原点集的轨迹方程即可得出变换后的轨迹方程。这里运用了一个很绝妙的思维——逆向思维！

下面是主旨升华(题外话)部分（部分参考原up主）

本以为此研究只是得出一个毫无意义的结论，殊不知此能发掘出一系列的美妙的数学知识。这一过程于我而言受益匪浅，既满足了求知欲获得了成就感，又对所学知识进行了实践应用，由此看来“意义”一词更适合自定义。热爱之事由自己赋予价值和意义！