《花卉趣味百话》（连载）七十四、花卉的数学趣话

《花卉趣味百话》（连载）

陈宣章陈珑玥编著

七十四、花卉的数学趣话

有道趣味数学题：苗圃有块9尺9寸见方的地，相邻两株树苗距离1尺，最多能种多少株树苗？甲设计方案：种10行，每行10株，共100株。乙设计方案：沿对角线种，每边8株，共113株。丙设计方案：按正三角形种，每行10株，行距0。866尺（边长1尺的正三角形底边的高），共12行，结果种了120株。

这种以植物为内容的趣味数学题非常多。但是，自然界中植物本身的趣味数学更奥妙！古希腊著名的数学家毕达哥拉斯和他的学派相信“哪里有数哪里就有美”，数和数学中有丰富的美感和趣话。而植物中就有许多这样的美感和趣话。

一张直角三角形的纸卷到一个圆筒上，斜边就成一条螺旋线，因在圆柱上形成，叫“圆柱螺旋线”。牵牛花是蔓生植物，常缠绕其它直立较粗壮的物体向上爬，形成圆柱螺旋线。牵牛花为何要如此向上爬呢？因植物需要阳光，只有长得更快更高，才能获得较多阳光。牵牛花要爬快爬高，可自己枝干非常细弱，只有缠绕别的物体向上爬。展开圆柱侧面，可以看出：主干上圆柱螺旋线的一个“周期”正好是侧面展开矩形的对角线。因为两点间以连结这两点的线段为最短，所以，牵牛花也是按照数学最小值的原理来达到自己的目的。( 文章阅读网：www.sanwen.net )

在令人眼花缭乱的数学美中，最瑰丽的莫过于黄金律（黄金分割）了。为了能在大自然的风霜雨雪中生存下来，植物选择了长高和长粗的最佳比例，即“黄金比率”0。618。在小麦或水稻的茎节上，可看到其相邻两节之比为1：1。618，又是一个“黄金比率”。还有松果、菠萝等果实表面，都具有明显的“黄金螺旋线”特征。这是一条非常美丽的曲线。

将圆周角360°按黄金分割成两部分：222°32'和137°28'。很多植物的叶子按空间螺旋线自下而上顺序逐个萌出，奇妙的是：每相邻两个叶柄的夹角都是137°28'。而这种角度的通风和采光效果恰恰最佳。

17世纪著名的法国数学家笛卡儿，以创立坐标法而享有盛誉。他在研究一簇花瓣和叶子的曲线特征后，列出了X³+Y³-3aXY=0的曲线方程式，准确形象地揭示了植物叶子和花朵形态所包含的数学规律，因此取名“笛卡儿叶线”或“叶形线”，又称作“茉莉花瓣曲线”。如果将参数a的值加以变换，便可描绘出不同植物叶子或者花瓣的外形图。

科学家对垂柳、睡莲、三叶草、常青藤等植物进行认真观察和研究后，发现植物之所以拥有优美造型（如：花瓣对称排列在花托边缘；整个花朵近乎完美地呈现辐射对称形状；叶子有规律地沿着植物的茎杆相互叠起；种子或呈圆形、或似针刺、或如伞状……），在于它们和特定的“曲线方程”有密切关系。其中用来描绘花、叶轮廓的曲线称作“玫瑰形线”；植物的螺旋状缠绕茎取名为“生命螺旋线”。

扑克牌上的“梅花”并非真正的梅花，甚至不是什么花，而是三叶草。西方历史上，三叶草的象征意义，据说：第一叶代表希望，第二叶代表信心，第三叶代表爱情。谁能找到四叶的三叶草，就会交上好运，找到幸福。在野外寻找四叶的三叶草，是西方的一种儿童游戏，确实很难找到。据估计，每一万株三叶草，才会出现一株四叶的突变型。

在我国，梅花有着类似的象征意义。民间传说梅花五瓣代表五福。民国把梅花定为国花，声称梅花五瓣象征五族共和，具有敦五伦、重五常、敷五教的意义。但是，梅花有五枚花瓣并非独特。事实上，植物花最常见的就是五枚花瓣，如：与梅同属蔷薇科的其他物种，像桃、李、杏、梨、樱花、苹果等都开五瓣花。常见的花瓣数还有：3枚的鸢尾花、百合花（看上去6枚，实际上是两套3枚）；8枚的飞燕草；13枚的瓜叶菊；向日葵花瓣是21或34枚；雏菊花瓣是34、55或89枚。而花瓣是其他数的花则很少。为什么花瓣数目不是随机分布的？3，5，8，13，21，34，55，89……这些数有什么特殊吗？有的，它们是斐波纳契数。

斐波纳契（1170-1240）是中世纪意大利数学家。他在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。假定有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们长到一个月大小时开始交配；在第二月底，雌兔产下另一对兔子；再过一个月后第二对兔子也开始繁殖，如此这般持续下去。每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，那么一年后总共有多少对兔子呢？在第一月底，最初的一对兔子交配，但仍只有1对兔子；在第二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在第三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，第二对兔子的雌兔产下第四对兔子，共有5对兔子……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……这个斐波纳契数列有个规律：从第3个数开始，每个数都是前面两个数之和。

植物中的斐波纳契数列非常多。不仅花，还有叶、枝条、果实、种子等形态特征，都可发现斐波纳契数。

1。叶序是指叶子在茎上的排列方式，最常见的是互生叶序，即在每个节上只生1叶，交互而生。任意取一个叶子做为起点，向上用线连接各个叶子的着生点，可以发现这是一条螺旋线，盘旋而上，直到上方另一片叶子的着生点恰好与起点叶的着生点重合，做为终点。从起点叶到终点叶之间的螺旋线绕茎周数，称为叶序周。不同种植物的叶序周可能不同，之间的叶数也可能不同。如：榆的叶序周为1（即绕茎1周），有2叶；桑的叶序周为1，有3叶；桃的叶序周为2，有5叶；梨的叶序周为3，有8叶；杏的叶序周为5，有13叶；松的叶序周为8，有21叶……用公式表示（绕茎周数为分子，叶数为分母），分别为1/2，1/3，2/5，3/8，5/13，8/21……这些是最常见的叶序公式。据估计大约有90%植物属于这类叶序，而它们全都是由斐波纳契数组成的。

植物的生长也和斐波纳契数有关。数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出树木生长问题：一棵树苗一年后长出一个新枝，每个老枝和新枝也每一年再长出一个新枝，那么树的分枝数就是斐波纳契数列。

向日葵的花盘中，其种子排列组成了两组相嵌在一起的螺旋线，一组是顺时针方向，一组是逆时针方向。再数数这些螺旋线的数目，虽然不同品种的向日葵会有所不同，但是这两组螺旋线的数目一般是34和55、55和89、89和144，其中前一个数是顺时针线数，后一个数是逆时针线数，而每组数都是相邻的斐波纳契数。

再看菠萝、松果上的鳞片排列，虽然不像向日葵花盘那么复杂，也存在类似的两组螺旋线，其数目通常是8和13。有些植物中，这种螺旋线不那么明显，需仔细观察才会发现，如：花菜。花菜上的小花排列也形成两组螺旋线，再数数螺旋线的数目，也是相邻的两个斐波纳契数，如：顺时针5条，逆时针8条。再掰下一朵小花仔细观察，它实际上是由更小的小花组成的，而且也排列成两条螺旋线，其数目也是相邻的两个斐波纳契数。

斐波纳契数和黄金分割有密切关系。实际上，黄金率=Lim（n→∞）An/An+1≈0。618。其中的An和An+1就是相邻的两个斐波纳契数。这就和另一个更古老的、早在古希腊就被人们注意到甚至去崇拜它的另外一个“神秘”数字有关。假定有一个数φ，它有如下有趣的数学关系：φ²-φ-1=0，这个方程有两个解：

①正数解（1+√5）/2=1。……②负数解（1-√5）/2=-0。……

这两个数的小数部分是完全相同的。正数解（1。……）被称为黄金数或黄金比率，通常用φ表示。这是一个无理数（无限不循环小数，没法用分数来表示），而且是最“无理”的无理数。因为同样是无理数，圆周率π用22/7，自然常数e用19/7，√2用7/5就可以很精确地近似表示出来，而φ则不可能用分母为个位数的分数做精确的有理近似。

黄金数有一些奇妙的数学性质。它的倒数恰好等于它的小数部分，也即1/φ=φ-1，有时这个倒数也被称为黄金数、黄金比率。如果把一条直线AB用C点分割，让AB/AC=AC/CB，那么这个比等于黄金数，C点被称为黄金分割点；如果一个等腰三角形的顶角是36度，那么它的高与底线的比等于黄金数，这样的三角形称黄金三角形；如果一个矩形的长宽比是黄金数，那么从这个矩形切割掉一个边长为其宽的正方形，剩下的小矩形的长宽比还是黄金数。这样的矩形称黄金矩形；黄金矩形可用上述方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形，而如果把这些黄金矩形的对角用弧线连接起来，则形成一个对数曲线；如把这些黄金矩形的中心用光滑的曲线连接起来，就是黄金螺线。

常见的报纸、杂志、书籍、纸张、身份证、信用卡用的形状都接近于黄金矩形，据说这种形状让人看上去很舒服。的确，在我们的生活中，黄金数无处不在，建筑、艺术品、日常用品在设计上都喜欢用到它，因为它让我们感到美与和谐。

相邻两个斐波纳契数的比近似等于φ，n越大，则越接近；当n→∞，其比就等于φ。斐波纳契数与黄金数密切关联。植物喜爱斐波纳契数，实际上是喜爱黄金数。这是为什么呢？莫非冥冥之中有什么安排？西方人说：“植物中的神秘数字是上帝安排的和谐美。”

植物的枝条、叶子和花瓣有相同起源，都从茎尖的分生组织依次出芽、分化而来。新芽生长方向应与前面一个芽的方向不同，旋转一个固定角度。如充分利用生长空间，新芽生长方向应与旧芽离得尽可能远。那么这个最佳角度是多少呢？如把这个角度写成360°×n，其中0＜n＜1。由于左右各有一个相同角度（只是旋转方向不同），例如n=0。4和n=0。6实际结果相同，因此只需考虑0。5≤n＜1的情况。如果新芽要与前一个旧芽离得尽量远，应长到其对侧，即n=1/2。但是再长第2个新芽则与旧芽同方向，第3个新芽与第1个新芽同方向……，也就是说，仅绕1周就出现了重叠，总共只有2个生长方向，中间的空间都浪费了。如果n=3/5呢？绕3周就出现重叠，总共只有5个方向。事实上，如果n是个真分数p/q，则意味着绕p周就出现重叠，总共有q个生长方向。

显然，如果n是没法用分数表示的无理数，就会“有理”得多。选什么样的无理数呢？圆周率π、自然常数e和√2都不是很好的选择，因为它们的小数部分分别与1/7、5/7、2/5非常接近，也就是分别绕1、5、2周就出现重叠，分别总共只有7、7、5个生长方向。所以，越是“无理”的无理数越好。前面已提到，那只有黄金数φ≈1。618。也就是说，n的最佳值≈0。618，即新芽的最佳旋转角度大约是360°×0。618≈222°32'（或137°28'）。

前面提到，最常见的叶序为1/2，1/3，2/5，3/8，5/13和8/21，表示的是相邻两叶所成的角度（称为开度），如果把它们换算成n（表示每片叶子最多绕多少周），只需用1减去开度，为1/2，2/3，3/5，5/8，8/13，13/21。它们是相邻两个斐波纳契数的比值，是不同程度地逼近1/φ。在这种情形下，植物的芽可有最多的生长方向，占有尽可能多的空间。对叶子来说，意味着尽可能多地获取阳光进行光合作用，或承接尽可能多的雨水灌溉根部；对花来说，意味着尽可能地展示自己吸引昆虫来传粉；而对种子来说，则意味着尽可能密集地排列起来。这一切，对植物生长繁殖都大有好处。可见，植物之所以偏爱斐波纳契数，乃是在适者生存的自然选择作用下进化的结果，并不神秘。

1976年国际数学会议上，美国普林斯顿大学的哈德罗·库恩教授宣读了一篇奇特的论文。众所周知，N次方程在复数范围内有N个根，但除N=2和少数例外，要找出N个复数根是很困难的，你想解一个复数系数是N次的方程吗？那请你看看库恩先生的表演吧：他准备了一个培养皿和一个立体大篱笆，篱笆越往上越密。然后把你要解的方程的信息“告诉”培养皿。皿内吐出几个新芽，芽变成藤，飞快地攀上篱笆，一层一层往上穿。最后，每根藤恰好指向方程的一个根，于是方程的N个根就被找出来了。与会者无不目瞪口呆，惊奇万分。植物竟会解方程！原来库恩先生运用的是现代数学中一个极为重要的定理，这就是拓扑学中著名的“不动点定理”。因为学问太深，这里就不详细解释了。

近十几年产生新兴的分形数学（分维几何学）：空间具有不一定是整数的维，存在一个分数维数。这就它最本质的东西。分形图案是指一种通过缩小比例的方法不断重复自身的图形。生活中，我们看到洋槐树、蕨类植物这些很美丽的大自然图案，就是分形图案的典型例子。组成某一蕨类植物的枝干本身就是这一蕨类植物的微型翻版，也就是说，任何一株独立的蕨类植物都是由与其外观相似的小分枝组成的。分形维数是指在某一区域内自相似图形按比例放大的速度。如果区域内自相似图形之间的密集度越高，这一区域的分形维数越大。

其实，许多科学都是受现实生活的启发。植物中的趣味数学就是科学的钥匙。

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