尘封笔记001--从一本尘封的笔记说起

  大家好！我是BlackJunMa(这是我4岁时我老妈给我起的网名)。

  有些时候，并不久远的回忆也可以使人浮想联翩。

  作为一位985数学专业摸鱼者，我在这个任务并不繁重的暑假开始了对楼上小房间的整理。

  这个房间只有2.3m×5m的大小，但是对于数学研究来说已经足够大了。就在长达4天的整理过程中，我找到了一个足够引发我美好青春回忆的活页本。

  这个小本里面，存放着我自小学3年级以来，到高中毕业这一段时间的各种(关于数学的)奇怪想法，现在能够再看到它，实在是一种惊喜。毕竟，我从小就没有记数学笔记的习惯，上课时候，我只需要用一只耳朵听老师在上面讲，另一只耳朵听周围同学的动笔声，两只手和一个脑子就可以专心地在下面演绎我的奇怪想法了。

  不知不觉之间，我的笔记积累了上百页，简直可以整理起来出一本书了。而且我很愿意摘出其中的一页公布给大家看。这一页的创作灵感来自于我老妈给我送的7岁生日礼物--张景中院士的一本数学科普书籍《从根号2谈起》，这本书十分适合做家长送给小学3年级左右的孩子的礼品，有助于学生扩展思维广度。

  以下为笔记内容(部分经过修改)：

  我们需要经常获得一些整数的平方根的有理近似，尤其是分母为10的整数次幂的求小数近似。

  最简单，最容易想到的二分法，时间效率难以想象地低，因为我们要一个一个地通过尝试获得精确位数，时间效率难以恭维。

  我们应该找到一种方法，可以让误差每进行一次计算操作都会进行平方，小于1的数取多次平方，趋近于0的速度是比线性地减少快的多。

  很明显，如果a是正整数但不是另一个正整数的平方，根号a就是无理数。所以，这里我们可以试图使用一个分数α/β来逼近它，而且误差小于1/2β(无理性使等号取不到)，也就是

 此时此刻，我们可以两边乘上一个β，于是：

 这里我们可以进行一次两边平方的操作，得到

  很明显，这个不等式与上一个形态类似，而且右边的误差也被平方了一次。这里我们可以简记

 于是这个公式就变成了

  好玩！我们可以再一次进行平方的操作。我们可以归纳地定义

  于是经过k次平方过程，我们有

  或者说是

  这个估计可以说是十分的快速了，考场上能省时间自然是最有用的。为了证实这个估计的计算速度，我们可以使用a=3的情况作为验证。先使用3/2作为最初的逼近分数：

  我们仅仅进行了3次平方，就成功得到了如此好的数值估计，计算出来，

1524177/879984与3的平方根至少有7位小数是相同的，而这些数字在考场上获得，时间不会超过3分钟，对于一道5/150的选择题来说十分划算。

  数学不是冰冷的工具，它给人类带来的如同进行游戏一般的欢愉。如果作为数学作为美好的回忆而存在，它将会成为给自己的一种精神礼物。

  这是我面对这个承载着无数回忆的活页本时，想要对我，以及我的周边人的一句最简单的话。