大学物理（原子物理学）知识梳理与例题选讲：§04 矩阵力学简介

第四章说明

线性代数知识回顾

# 线性代数

## 线性空间与线性变换

### 线性空间【集合】

• 封闭性
• 运算律

### 基

• 线性无关
• 线性表示空间中任一元素

函数空间：函数元素构成的空间也是线性空间

函数空间P3(x)的其中一个基

### 坐标向量

例子

• 坐标向量与量子力学的关系

薛定谔方程定义一个状态空间（由全部的解构成），组合数指的是坐标向量

### 坐标变换

同一元素的坐标向量随着基的选择的不同而不同

#### 表象

在薛定谔方程中选择不同的定态【即基】，则其状态空间也会不同【即向量坐标】

• 表象：【量子力学】选取不同的基而有不同的向量坐标（过程为表象？结果是表象？结果是表象，即向量坐标是表象）
• 能量表象：由定态能量【基】而解出的状态【向量坐标】
• 动量表象：由定态动量(方程中为波矢k)【基】而解出的状态【向量坐标】

#### 过渡矩阵

过渡矩阵

定义：如下图中A为过渡矩阵

例子

### 特征向量（本征值）

定义

例子

#### 回顾薛定谔方程

一些定义

### 相似变换

相似变换

#### 正交变换

• 标准正交基：长度均为1（范数为1），内积为0

如

• 正交矩阵特点：矩阵的转置P^T = 逆矩阵P^-1

• 正交变换（A正交相似于B）

充要条件

#### 酉变换（Unitary）

• 厄米共轭：共轭矩阵的转置P^H
• 酉矩阵特点：共轭矩阵的转置P^H = 逆矩阵P^-1
• 酉矩阵：长度均为1（范数为1）相邻两列相互正交，内积为0【注意：复数的内积计算】

• 酉相似 （A酉相似于B）

充要条件

# 章节结束语

• 表象
• 本征
• 厄米
• 状态正交？

态矢及其性质

# 态矢及其性质

## 薛定谔方程与线性空间

物理意义：

## 态矢

• 态矢的定义：波函数在向量空间中所对应的矢量

注意：组合系数（向量坐标）不相同

### 态矢的运算

#### Dirac符号

• 列矢量：右矢（bra）

• 行矢：左矢（ket）

注意：此处的厄米共轭记为上标+，即：量子力学通用记法

#### 运算法则

• 加法
• 数乘

组合系数（矢量坐标）中包含波函数ψ的时间部分

• 内积【复数的】

注意：需要对y分量取共轭

物理意义：体现两件事件同时发生的概率

• 外积

区别：叉乘为向量【数学】；【物理】态矢的外积乘积为方阵（矩阵）

#### 运算的补充结论

n为向量标准的正交基

• 标准正交性的描述：由态矢的内积判断

• 单位矩阵的构造：态矢的外积

• 矩阵的元素提取

### 态矢的性质

#### 正交归一性（基）

区别：标准正交基：长度均为1（范数为1？），内积为0

内积【复数的】

• 证明：可通过积分表示状态函数ψ具有正交性（注意：式子中的ψ不是指波函数ψ）

** 运算规则

厄米算符(上标+)的等式性质，暂时不去证明；哈密顿算符的转置的运算规则，如上up所指处

** 证明过程

a) 当 i≠j时

上图中ψ_i^* ψ_j = 0的物理意义：【提示】本征函数ψ的波函数之间不相干（如干涉）

其中：本征值的定义

b) 当 i=j 时

#### 组合系数的归一性

其中组合系数即为向量坐标

利用状态函数ψ具有归一性：即总概率P为1（其中概率P_i = |ψ_i|^2）

展开，同时利用正交归一性（基）

可得

最终可得

#### 物理量的均值

如波函数ψ的时空函数ψ(x,t)的均值

变换的原因：【[明确]利用状态函数ψ的正交归一性空间函数变换为对角矩阵】

如：动量P

• 均值 f：<f>利用状态函数ψ的正交归一性的证明

薛定谔方程的矩阵形式

# 推导出矩阵形式

## 分离时间与空间部分

## 带入求解

代入含时薛定谔方程【补充：在历史逻辑上，海森堡（与波恩、约尔当）与薛定谔方程均为二者独立推导所得，两式等价】

利用正交归一性，可得

注意：此处的薛定谔方程组的矩阵形式，中ψ矩阵中（c_1,..,c_n)的方程组，而求解方程即为求解微分方程组

## 方程的应用

双态问题的经典模型

• 双态系统：有且只有两种状态的系统

# 背景知识

求磁矩的变化规律

# 电子磁矩

## 轨道磁矩

其中磁矩μ

## 电子自旋

电子自旋具有量子化

能量ω

# 经典方法的研究

## 拉莫尔进动

角速度，也称为拉莫尔频率

## 双态问题

### 磁矩的状态

磁场B，此时可知能量ω最大时，磁矩μ与磁场B反向

外加磁场B_1(射频场)

• 研究问题

加上射频场后的运动状态

### 受力分析【经典方法】

将一个线偏振磁场转化为两个互相反向旋向的磁场

#### 旋转波近似

在磁矩μ为参考系中(在地面系中角速度ω_0)，同向旋向磁场的相对角速度为ω+ω_0，反向旋向的相对角速度为ω - ω_0(外加旋向磁场的角速度为ω)

忽略与共振频率较大的圆频率

可得

然后以旋转磁场B_1为参考系

磁场在参考系内为

将等效磁场合成为B_{eff}

• 定量计算

a)求解旋转频率

b)求解磁矩在z轴的投影μ_z

求解MM'

求解α

求解磁矩在z轴的投影μ_z

# 章节结束语

双态问题的矩阵力学解法

# 矩阵力学的解法

## 双态问题

• 定义： 能量的不同状态。此题目中的不同状态为磁矩向上和向下两种状态，即代表了能量高低的不同状态（磁矩向上E_1，高；而磁矩向下E_2为低）

注意：上述的磁矩状态在无外磁场时，即只有磁场B_0的本征态【特征向量】

注意上式中 c_1、c_2代表对时间求导

### 求出哈密顿矩阵H

#### 求出哈密顿矩阵H_0

本征态表示下，矩阵必为对角阵

注意：圆频率ω_0不是固有频率，这里是量子力学下的频率，为能极差而产生的频率。

#### 求出哈密顿矩阵H_I

可得

H_z矩阵的分析

• 主对角线

• 奇宇称：奇函数对称的性质分布？

• 副对角线的分析

#### 求出哈密顿矩阵H

将cosωt转化为指数函数，并结合H_0矩阵的结果，可得最终的H矩阵表达式

已知H_0为

则，可得总哈密顿矩阵H的表达式

### 求解方程组

#### 换元

#### 近似处理

进一步化简可得

#### 进一步变换

可得最终结果为

#### 求解平均磁矩

### 结果分析

#### 最值分析

• 能量最小值，即初始条件时

• 能量最大值，投影μ最小值

当δ=0时

此时处于共振状态

# 章节结语

• Bloch球：表示磁矩的运动过程【后面章节讲解】
• 优化矩阵力学的解法

其为非常系数微分方程，求解困难。拓展：能否可以像经典解法一样？可否选取转动的参考系，即转动的基？

缀饰态方法

# 转动参考系

## 方程变换

设在静止参考系与转动参考系的关系如下，则可得含时薛定谔方程为：

将左式变换为标准形式，可得

## 选取变换矩阵A

使用原基表示变换后的基

可得变换后的基为

## 求解哈密顿矩阵H

过程类似，即（可自行查看上一节的过程）

• 求解在原磁场B_0下的哈密顿矩阵H_0
• 求解在射频场B_1下的哈密顿矩阵H_I

### 原定义上的改动

• 势能的定义

• 圆频率ω_R -> Ω

### 新的哈密顿矩阵H

## 变换后的哈密顿矩阵H^~

### 旋转波近似

考虑结果后近似，同时考虑矩阵满足厄米共轭的性质，可得

### 变换后的哈密顿矩阵H^~

## 求解薛定谔方程

# 本征态的分析

旋转变换后的哈密顿矩阵H^~的本征值

本征值为

则本征向量为

• 缀饰态：只有在特定参考系下才具有的本征态？

Bloch球

# 物理研究中常用的球

• 惯量椭球

研究刚体的定点转动时的研究方法

• 折射率球

光学的折射率分析

• Bloch球

# Bloch 球

构造Block矢量

注：C_2^~ C_1^~*的乘积表示波函数之间的相干程度；μ_z代表磁矩投影的平均值

## R向量的分析

### R矢量的模

其轨迹即为Bloch球

### R矢量与时间的关系

结果为

整理得

Bloch球在Ω矢量在进动

## Bloch球求解问题

### 平均磁矩μ_z随时间的变化

#### 例题：Bloch球

磁矩在磁场的问题

已知条件与问题

注意：整个题目都是在转动参考系下的运算

• 经典分析法

• Bloch球分析法

在存在射频场时

• 0~ t_1时间段

由旋转对称性，设Ω矢量在y轴方向上

• 进动的角度Δθ

• Bloch矢量的状态

• 在 t_1~t_2时间段

此时的矢量Ω

• t_2~t_3时间段

求解

### 求解本征态问题

本征态不随时间变化，则

由共线性质可得

由上式子并结合Bloch球的性质，可得方程组

# 章节结语

不确定关系

不确定关系II

# 开篇

# 算符的关系

由上的算符之间产生的矛盾，需要引申出一些概念

## 量子泊松括号

### 定理

证明定理——使用反证法

证明算符时，常使用其对应的作用函数表示

由此可知量子泊松符号所引申得定理，可表示为

证明分析

## 算符不可对易

### 位置x与动量p

结论：位置x与动量p不可对易，因此二者之间存在不确定关系

### 能量E与时间t

能量E与时间t不可对易

# 不确定关系

## 算符均值的不等式

判别式法

利用关于泊松符号的不等式

### 证明不等式

构造二次函数

求出构造函数的各个项数

• 二次项

• 一次项

• 常数项

可得构造函数的表达式

可得

### 标准差与算符的不确定度的关系

可得

## 具体的不确定关系

# 章节结语