高德纳箭头与葛立恒数

我们小学就知道乘法是加法的叠加，乘方是法的叠加。我们定义加法为1级运算，乘法为2级运算，乘方为3级运算，那么乘方的叠加就应该是4级运算。 在过去很长一段时间里，人们都没有去研究4级以及更高级别的运算。不过这也很正常，毕竟现实宇宙中的数字最多也就指数级别而已，根本没有需要用到4级运算来表示的数字。4级运算有种常见形式是ⁿm的形式，代表着n层m的幂塔，而且值得注意的是，幂塔要从上往下算。这是因为3级运算不再满足交换律。也正因为如此，第三级运算的逆运算才有两种(取对数和开根号)。 到了第四级运算后，限制条件就更多了。首先就是参与四级运算的数字只能是正整数了，因为你很难想象一个负数层或者分数层的幂塔是个什么东西。而且我们也很难研究它们的逆运算。因此，大数数学研究的都是非常大的正整数。当然，第四级运算的数字还算不上大数，让我们继续往下走。 我们把第四级运算叠加，就能得到第五级运算。那么怎么表示这个第五级运算呢？三级运算写在了右上角，四级运算写在了左上角，五级运算总不能还写在角标上吧？有种最简单的超运算表示法是这样的：m[5]n，就代表m与n之间进行第五级运算。 还有一种常见的表示方法是这样的：m↑↑↑n。其中的箭头叫做高德纳箭头。当两个数之间只有一个箭头时：m↑n就表示m的n次方。m↑↑n=m↑m↑m……m↑m，有n个m。显然，两个箭头时就代表了n层m的幂塔。也就是我们前面说的第四级运算。m↑↑↑n=m↑↑m↑↑m……m↑↑m，有n个m，每两个m之间有两个箭头。当m和n之间有n个箭头的时候，我们可以把它展开为n个m，每两个m之间有n－1个箭头的形式。可以看出，n个高德纳箭头对应的就是n+2级超运算。 了解了超运算和高德纳箭头后，我们再来看看葛立恒数。葛立恒数是拉姆齐理论（Ramsey theory）中一个极其异乎寻常问题的上限解，是一个难以想象的巨型数。这个问题表述为：连接n维超立方体的每对几何顶点，获得一个有着2^n个顶点的完全图（每对顶点之间都恰连有一条边的简单图）。将该图每条边的颜色填上红色或蓝色。那么，使所有填法在四个共面顶点上包含至少一个单色完全子图的最小n值为多少？

它是一坐64层的高德纳箭头塔，每一层的箭头数量都由上一层的运算结果给出。我们先看它的第一层G(1)，G(1)=3↑↑↑↑3，表示两个3之间进行6级运算。G(1)长下面这个样：

每一个指数塔的层数都由后面的指数塔给出，上面的指数塔个数再由下面的指数塔给出。G(1)仅仅只是4个箭头，而G(2)却有G(1)个箭头……葛立恒数G(64)有G(63)个箭头。 但是我们也不要被葛立恒数吓到了，它在大数里小的可怜，为什么这么说？我们可以试着用之前讲过的FGH分析一下葛立恒函数的增长率。容易发现葛立恒函数其实就是把一个增长率为ω的超运算函数套娃的层数作为了自己的自变量，因此葛立恒函数的增长率也就只有区区的ω+1而已。这在大数的世界里是完全不够看的，我们的大数之旅才刚刚开始。