高中数学基础与解法全集（涵盖所有）|长期更新|从零开始拯救所有学渣！通俗易懂|高

更新至P17

P2、初高中衔接基础（十字相乘法、二次函数、不等式）

1.十字相乘法

条件：二次项系数a,一次项系数b,常数项c都得是整数

本质：因式分解

举例:

2.二次函数图像

y = ax² + bx + c , (a ≠ 0)

⭐ a > 0, 开口向上; a < 0, 开口向下

⭐ Δ: b² - 4ac

⭐对称轴公式： - b / 2a

3.二次方程（求根：用十字相乘法、求根公式、韦达定理）

⭐韦达定理

4.二次不等式

P3、乘法公式

1. ⭐平方差公式：a² - b² = (a - b) (a + b)
2. ⭐完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
3. ⭐和立方公式：(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 【按照a的降次b的升次写，系数用杨辉三角算】
4. ⭐差立方公式：(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 【系数符号正负交替出现】

杨辉三角：

5.

⭐立方差：a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)

⭐立方和：a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)

6.

⭐三数和的平方：(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

例题：

1.

解题思路：看a² + b² + c² - ab -bc - ca 能用哪个公式

没有平方相减，排除平方差

要出现了三次方的才用的上与立方有关的公式

所以只剩下(a ± b)² = a² ± 2ab + b² 可以考虑

2.

我觉得其实化简为

M = ( x² + 1 + 2x ) ( x² + 1 - 2x )

= ( x² + 1 )² - ( 2x )²

= ( x² + 1 )² - 4x²

N = ( x² + 1 + x ) ( x² + 1 - x )

= ( x² + 1 )² - ( x )²

= ( x² + 1 )² - x²

就可以了

然后，用做差法

M - N = ( x² + 1 )² - 4x² - [ ( x² + 1 )² - x² ]

= -4x² + x²

= -3x²

因为x≠0，所以x²为正，-3x²为负，M < N

其实，找出规律，知道用什么公式变形，答案就很容易出来了

3.

P4、绝对值相关问题（分类思想）

例题:

1.

2.

P5、二次函数中的a、b、c

y = ax² + bx + c ( c ≠ 0)

a:

1. 控制开口 a > 0,开口向上 ; a < 0,开口向下
2. 控制Δ
3. 控制根

b:

⭐对称轴： x = -b / 2a

c:

二次函数与y轴交点的纵坐标就是c

⭐Δ: b² - 4ac

当Δ > 0, 二次函数与x轴有2个交点，

当Δ = 0, 二次函数与x轴有1个交点

当Δ < 0, 二次函数与x轴没有交点

⭐求根公式

⭐：a的大小对函数走势的影响

a越大， 函数越陡峭（a > 0）

a越小，函数越平缓（a > 0）

在b变化时，对称轴会左右平移

b越大，与轴的交点越靠上

例题：

1.

解题思路：将零点问题转换为交点问题，根据“a越大，函数越陡”这个规律画图

2.

解题思路：

• 看图，开口向上，所以a > 0
• 用对称轴公式求出a和b的关系

• 看图，c是与y轴交点的纵坐标，所以 c < 0

• 看图，延长图象，发现图象和x轴有2个交点，所以b² - 4ac > 0

• 看图，因为对称轴与两个交点的距离相等，已知对称轴和右边交点的位置，可以求出左边交点

• 9a - 3b + c = 0, 可以将零点代入，可证为真
• 开口向上时，距离对称轴越远，y值越大

3.

解题思路：

• 顶点在对称轴上，如果要保证顶点的y值大于其他两个y值，那么函数开口要向下，所以a < 0
• 看题， y₀ ≥ y₁ > y₂，也就是说 y₁ > y₂，（-6，y₁ ）离对称轴要近一些
• 求出-6和2的中点是-2，对称轴要偏向-6，那就要小于-2

P6、含参一元二次不等式函数相关问题

考点：

1. 最值 -- 要确定开口方向，画图

2. 根的分布 -- 画图，看端点

3. 不等式 -- 画图

例题：

1.

（1）解题思路，将a代入得y = x² - 4x + 3

• 化简：

y = x² - 4x + 3

= [ x² - 4x + 3 + 1] - 1

= (x -2)² - 1

• 画图：

对于怎么画出这个图的，我的理解是：

先画y= (x -2)² ,再向下平移一个单位。

（2）解题思路，用分类思想，分别画出对应的图

• ① 用公式求出对称轴

x = - b / 2a

= - ( -4a ) / 2a

= 2

• ② 先考虑开口向上（a > 0）的情况，开口向上时，离对称轴越远，值越大。所以x = 4 时y在 区间内最大

求出a值后，要验证是否符合一开始假设的 a > 0,符合才行

• ③ 再考虑开口向下（a < 0）的情况，开口向下时，离对称轴越近，值越大。1 ≤ x ≤ 4 刚好包含对称轴，那当然是在顶点的时候值最大

2.

解题思路：

• x² - 2ax + 1 的 二次项系数是1(大于0，开口向上)
• 根据“两根分别在 ( 0, 1 )与 ( 1, 2 ) 内” 画图

• 根据图的内容写出不等式组，分别求出a

三个条件都要满足，取重合部分

3.

(1) 解题思路:

题目说“有且只有一个零点”，那就是说 b² - 4ac = 0,

将参数代入可得：(2m)² - 4(3m + 4) = 0;

用十字相乘法可求出m的值

(2) 解题思路：

• 首先，函数开口是向上的（x²前面系数为正），
• 题目说“有两个零点”，那就是说b² - 4ac > 0,
• "零点均比-1大"，那就是说，对称轴要大于-1，- ( 2m ) / 2 > - 1
• 而且-1 不在 两个零点之间的区域， x = -1 时， y > 0

画图

• 把条件写成方程式

• 分别求出结果，取都满足的部分

4.

(1) 解题思路：

• ax² + 3x + 2 > 0 的 解集是连续的，取中间，开口应该向下（a < 0）

• 看图，b和1就是 ax² + 3x + 2 的两个零点，所以将x = 1代入可得：

• 将a = -5 代回原式可得：

• 用十字相乘法解方程可求出另一个根

（2）解题思路：

• 先把不等式右边的内容全部移到左边:

ax² + 3x + 2 - (-ax - 1) > 0

ax² + (3 + a)x + 3 > 0

用十字相乘法

• 由题 a > 0 ,可知 开口向上
• 根据两个根（-1、-3 / a）的位置关系分类

------------------------------

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P7、韦达定理相关问题

适用条件：

ax² + bx + c = 0 (a ≠0)， b² - 4ac > 0

例题

1.

(1)解题思路：

题目说有两个实数根，也就是说Δ ≥ 0，可以等于0，等于零认为是有两个相等的实数根。

(2)直接用韦达定理: x₁+ x₂ = -b / a, x₁ * x₂ = c / a

2.

解题思路：

• 题目说，m是不小于-1的实数 ，即 m ≥ -1
• 方程有两个不相等的实数根，指明了“不相等”，即Δ ＞ 0

(1) 解题步骤，

• 先根据题目条件把Δ ＞ 0算出m的取值范围

[2(m - 2)]² - 4(-3m + 3) > 0

求得m < 1, 再根据m ≥ -1，得到m的取值范围：-1 ≤ m < 1

• 然后，用韦达定理的变形公式：

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

再根据 x₁ + x₂ = -b / a, x₁ * x₂ = c / a 得：

(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 6

[2(2 - m)]² - 2(m² -3m + 3) = 6

4(2 - m)² - 2(m² -3m + 3) = 6

4(2² - 2*2m + m²) - 2(m² -3m + 3) = 6

4(m² - 4m + 4) - 2(m² -3m + 3) = 6

2(m² - 4m + 4) - (m² -3m + 3) = 3

2m² - 8m + 8 - m² + 3m - 3 - 3 = 0

2m² - m² -8m + 3m + 8 - 6 = 0

m² - 5m + 2 = 0

• 用求根公式解出m的两个根，结合由题目条件得出的m的取值范围：-1 ≤ m < 1，其中一个大于1,舍去

(2)解题思路，

先通分，再用韦达定理

先将T化简为 2 - 2m (m ≠ 0，m ≠ 1)

再根据题目条件m的取值范围：-1 ≤ m < 1算出 2 - 2m 的取值范围

m*-2, 乘负数，不等号的方向改变：

-1 * -2 ≥ -2*m > 1 * -2

2 ≥ -2m > -2

再加上2

2 + 2 ≥ 2 - 2m > -2 + 2

4 ≥ 2 - 2m > 0

即：0 < 2 - 2m ≤ 4

T = 2 - 2m (m ≠ 0，m ≠ 1)

把2 - 2m 换成T，由m ≠ 0得 T ≠ 2，m ≠ 1得 T ≠0

T ≠0 刚好不在算出的取值范围内，不用另外说明，T ≠ 2在算出的取值范围内，要另外说明，所以，最终结果：

0 < T ≤ 4 且 T ≠ 2

3.

(1)解题思路，根据 k 是否等于 0分类(等于0时不是二次方程，不能用Δ的规律)

(2)直接用韦达定理的变形公式

P8、【集合】【一数辞典】1集合的基本定义与表示方法

研究对象：元素

元素所构成的整体：集合

集合三大特性：确定性、互异性、无序性

集合写法：一般用大写

元素：一般用小写

属于符号：∈

不属于符号：∉

常用集合：

• 实数集：R 【Real，真实的】
• 有理数集：Q 【Quotient 商，除法所得的结果】
• 整数集： Z
• 正整数集：N₊ 或 N* (不包含0)
• 自然数集：N （包含0）【Natural】
• 无理数集：无符号

集合表示方法

• 列举法（枚举法）
• 描述法（左边是元素，右边的元素满足的条件或共同特征）
• 区间法

P9、【集合】【一数辞典】2集合之间关系

• 子集：A⊆B, 如果A中的元素,B中全有，就称之为：A是B的子集

• 真子集：A⫋B，A属于B，并且存在x属于B，但x不属于A，就称之为A是B的真子集（A不等于B）

• 空集:∅, 空集是任何集合的子集

集合之间的关系

• 交集：∩, 它们共有的元素组成的集合
• 并集: ∪, 它们所有元素组成的集合
• 补集：CᵤA, A在全集U中的补集 [U中除A以外的其他元素组成的集合]

集合个数

• 子集个数：设集合的元素个数为n,则该集合的子集个数为2ⁿ个
• 非空子集个数：除开空集以外的其他子集 -- 2ⁿ -1个
• 真子集：不算和本身相等的那个集合 -- 2ⁿ -1个
• 非空真子集：非空：除去空子集，真子集：除去和本身相等的 -- 2ⁿ - 2个

P10、【集合】【一数辞典】3集合习题(从一到无穷大系列）

改条件：x∈Z, 求元素个数、子集个数

交并关系

补集：

P11、【集合】【考点精华】4集合的互异性相关问题（基础）

1.

解题思路：抓住集合互异性，然后考虑a, a² -a + 1不能取的值

分类讨论：

• 首先看集合A：a ≠ 1，3, 看集合B ：a² -a + 1 ≠ 1

a² - a + 1 ≠ 1

a² - a ≠ 0

a(a -1) ≠ 0

a ≠ 0，1

综合：a ≠ 0, 1, 3 (这是后面分类讨论的大前提)

2.

解题思路：求它们一一对应相等就好了，有两种组合，分类讨论

前提：

集合A,根据互异性：3 + m ≠ 3, 3 + 5m ≠ 3，解得m ≠ 0,

集合B,根据互异性: 3p ≠ 3, 3p² ≠ 3，3p ≠ 3p² 解得m ≠ ± 1, 0

分类讨论：

P12、【集合】【考点精华】5集合相等的证明方法

1.

求三个集合的关系

解题思路：先通分

再用代入法预测：

将B变形，往C的形式凑，C有+1，B也再+1，加了之后要减去，凑成：

因为n是整数，所以n-1也是整数，p能取到的整数，n-1也能取到，所以B = C

A和C：

6m 就相当于3乘以一个偶数，而3p中p可以取任意整数，因此集合A只有集合C的一半，所以A⊆C

2.

解：

解题思路：证明A⊆B 且B ⊆ A

（此题有点绕，不太理解）

后续：

①：A⊆B

A⊆B，A中的元素B中都有，B可以看作是所有偶数的集合，A可以看作是特定偶数的集合，当（7m + 18n）= k时，A⊆B，（7m + 18n）可以等于 k,因为它们都是整数

②：B ⊆ A

我们看集合B中的元素是否A中都有，要证明k = 7m + 18n有整数解，即求出m和n分别等于多少k才满足式子

P13、【集合】【考点精华】6子集相关问题 （基础）

1.

解题思路：找一个非常严格的分类依据

用P的元素个数来分类：

所以满足条件的P集合：

{ a, b }、{ a, c }、{ a, d } 、{ a, b, c }、{ a, c, d }, { a, b, d }、{ a, b, c, d}

2.

不要忘记空集的情况

综上：{k | k≤ 3/2 }

（如果不知道k的取值范围，可以将前面3个关于k的取值范围画在数轴上，取两个情况的并集）

3.

分类依据：从最小元素开始

有6个

P14、【集合】【考点精华】7集合的交并补混合运算（基础）（重要）

数轴适合用于给出区间范围的集合

Venn图适合给出一个一个元素(散点)或元素未知的集合

1.

(1):根据题意画图

集合A：

集合B：

将a=2代入不等式

-----------------------------------

(2):根据a与1的位置关系分类：

当a > 1, 时，a - 1 要在1的左边才行

当a = 1时，两边接上了，满足条件

当a<1时，a-1<1,画出的图和上面一样，故也满足调节

综上 a∈（-∞，2]时，A∪B=R

2.

A:

中间深红色部分

B:

两边都表示除了中间白色部分

C:

D：

等式左边如C选项的图，填满红色部分

等式右边如上图，除去中间填满蓝色的部分

P15、【集合】【补充】集合易错点总结（中档）

• ∈是对元素而言的，但集合也可以作为另一个集合中的元素，
• ⊆是对于集合而言的

• 描述法与区间法

问：这两个集合一样吗？

集合A，求的是能让式子有意义的x的值

集合B：求的是式子有意义时y能取到的值

集合C：求满足式子的坐标点

• 有未知数的集合

记住描述法的核心：左边的取值构成了集合，右边是对变量进行的描述。

考到子集，不要忘记空集

集合相等、包含的问题。如果是小题，可以取一些值，通过求出的值来判断，如果是证明的话，基本上都是用证明相互包含的方法

-----------------------------------------------

选B

------------------------------------------------------------

用列举法，然后画Venn图

A 的部分取值：1， 3， 5，7，9，11

B的部分取值： 1，5，9

T ⊆ S

选C

P16、【集合】【考点精华】8集合的新定义问题考点解析 (拔高）

1.

M - P：

A - B：

子集个数公式： 2ⁿ个，n为集合中元素个数

2² = 4，选D

2.

算出A的取值范围：

再算出B的取值范围：

用数轴表示A - B：

用数轴表示B - A：

（A - B）∪ （ B - A）：

选C

3.

将A1元素个数作为分类标准：

共27种

P17、【集合】【考点精华】9集合拓展训练（拔高）

1.

(1)

(2）

2.