【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep19】数字革命：新世界大门
大家好，我是非知名数学世界导游老碧，新的旅程，你准备好了吗？
在两周半之前，我们从根号二引入数系扩充的必要性——数系扩充之后，之前有理数存在的性质或公理，在新的数系中也必须成立，所以我们首先介绍了有理数的“序公理”、“域公理”和“阿基米德公理”。之后的首要任务便是两点：一，给出新数的精确定义；二，验证对新数也具有这些公理性质。
我们给出了两种主流的数系扩充的方法——“有理数分划”与“无尽小数”，由此得到了对于新数的定义。我们完成了任务一。
我们之前完成了任务二的一小部分——
我们使用“有理数分划”的定义在Ep9，Ep10验证了“序公理”在实数范围依然成立。同时介绍了一个精致的小命题——“如何从无限的角度定义等于”？
现在我们要继续任务二的进程了，这里面有一小部分会有点点复杂，不过依然很有趣，咱们一起来欣赏吧！
10实数域的连续性
关于这个标题的几点说明——
关于域的定义我们在Ep1中就有过介绍，是指一个存在加法和乘法的集合，对加法和乘法的定义感兴趣的宝宝可以查阅Ep1，和今天的主题无关，我们就不在这里多做赘述了，这个表述改成，“实数集的连续性”或者“实数连续性”都不影响内容，因为下面的叙述中，并没有用到域的相关性质；
大家一定记得，在有理数性质部分我们有证明所谓的“稠密性”——即，任意两个“有理数”之间都存在“有理数”，我们还验证过“实数”也是具有“稠密性”的，并且实数的“稠密性”是一种“强稠密性”，因为，任意两个“实数”之间不仅仅是存在“实数”，并且这种“实数”是“有理数”——一种特殊的“实数”；
“稠密性”对“有理数”而言算是一个导出性质，我们在任取两个“有理数”a，b之后，总能在它们之间找到有理数（a+b）/2，——其实对于任意的自然数n>1，a+（b-a）/n都满足这个条件，这条性质成立的前提是：a.“有理数”具有域公理，即有理数进行加减乘除得到的结果仍然是有理数（除数不为0），我们才会想到用运算的方法构造符合条件的有理数，b.“有理数”具有序公理，我们才能知道运算（构造）出来的数（a+b）/2在a和b之间；
“连续性”是一种比“稠密性”更强/“高级”的性质——大概就是说，具有“稠密性”的有理数还是存在“间隙”的，如根号二就不是有理数，但是由简单的推理即可知道，它位于1和2之间，但是具有“连续性”的数/点集就不存在这种“缺陷”——所以“实数连续性”又称为“实数完备性”，即“没有缺陷”的意思，真正严谨地理解这两种性质要在《实变函数》中学过“势”的概念才能做到，现在我们由有限的认知，我们也可以做出实数具有“连续性”的推理。
书中先引入了从“有理数分划”的分类引出了“有理数的不完备性”的概念，当然，这也是我们之前定义“无理数”的逻辑基础——
我们已经知道有理数对应的“有理数分划”——要么上界有最小值，要么下界有最大值，但是我们知道实际上还存在第三种“有理数分划”——上界下界都没有最值，这就说明了，“有理数”没有覆盖所有的“有理数分划”——还有别的数在有理数之间，即“空隙”，这种性质称之为“不完备性”。
而为了了解处于这些“空隙”的数，我们利用第三种“有理数分划”定义了“无理数”，“有理数”和“无理数”合称为“实数”，为了确定，引入“无理数”之后，不再存在其他“空隙”，书中引入了“实数分划”的概念——
“实数分划”的定义，简要叙述为：
“实数分划”包含两部分，下组和上组；
上组和下组覆盖了所有实数；
下组的任意一个数都小于上组的任意一个数，固上下组不含有相同的数。
由这个定义，我们导出了“实数的完备性”证明，即证明，任意一个实数分划都对应一个实数作为“界数”——
在书中，“实数完备性”被定义为——实数定义的“实数分划”只有一种类型，即上组或者下组存在最值，与“有理数分划”这个“花心小萝卜”形成了鲜明对比，“实数分划”很专一，不会一边跟实数在一起，一边惦记着其他数。
对“实数完备性”的证明，因为我们此刻还不真正了解“实数分划”的性质，所以我们用到了“有理数分划”这个熟悉的工具，在数学中这种证明思路被称为“化归思想”——即把不熟悉的命题转化为熟悉的命题进行研究，比如，用“n位近似”的方法将“无尽小数”转化为“有尽小数”研究，或者，在之后许多关于“函数极限”的性质中，是从“数列极限”角度来研究的，这些我们以后再说，先聊“实数完备性”的证明：
用反证法——
因为“实数分划”上下组覆盖了所有实数，所有上下组覆盖了所有有理数；
“实数分划”下组所有数都小于上组任意数，所以“实数分划”下组有理数小于上组有理数；
由1、2得到一个“有理数分划”——下组所有数全都属于“实数分划”的下组，上组所有数全都属于“实数分划”的上组，“有理数分划”必然存在一个界数a——有理数或者无理数，都是实数；
假如a属于“实数分划”的下组，并且它不是最大值，也就是说，在这个“实数分划”的下组有比它更大的实数，我们记作b；
由实数的“强稠密性”，在a和b之间必然存在新的有理数c，因为c比a大，所以c属于a确定的“有理数分划”的上组，然而，由3可知，因为c属于“实数分划”的下组，所以c属于a确定的“有理数分划”的下组，导出矛盾，所以a属于“实数分划”下组时，必为最大值；
同理，a属于“实数分划”上组时，必为最小值。
由此，我们证明了“实数完备性”。
（“实数完备性/连续性”也是在大学数学专业《数学分析》课程中遇到的第一个重要的概念，以此为起点，导出的“实数连续性的六个定理”的相互推导，曾几何时是“北大数学系考研”连续几年《数学分析》的必出题，当然近几年改成了各种“介值定理”的证明，按照这个趋势，过几年估计会出“勒贝格定理”的证明，当然这道题往往是卷子上的送分题，老碧一个学酥就不逼逼太多了，简言之，就是，“实数的完备性”部分是数学系第一个要下功夫的学习重点。）
今天就说到这里，明天我们继续！
