【原创 总第2期】找几何体外接球第2期之特殊几何体的外接球 上

接着上回，今天我们来学习几类特殊几何体，上次我们说到，这些特殊几何体实际上就是所有顶点都与某个长方体的顶点重合，我们这里可形象地称这样的长方体为“外接长方体”.这样对于这些几何体找它的外接球，就有规律可循.

1.墙角型三棱锥

如上图所示，三棱锥D1--A1 C1 D就是一个墙角型三棱锥，即三棱锥的一条侧棱垂直于底面直角三角形的直角顶点（ABCD—A1B1C1D1只要是长方体就行）. 其性质有：以△A1C1D为底时（1）三棱锥侧棱互相垂直；（2）侧面互相垂直.

这里提一句题外话，由上述性质得：如果一道没有给图的几何题描述的是侧棱互相垂直的三棱锥怎样怎样，那么我们就可以直接画出上图用来做题，会简单很多.

这样的几何体外接球直接使用其“外接长方体”来求。即

长的平方+宽的平方+高的平方=4倍的外接球半径的平方.

2.鳖臑（nao）型三棱锥

如上图所示：三棱锥D--A1D1B1就是一个鳖臑型三棱锥（ABCD—A1B1C1D1只要是长方体就行）. 其性质有：（1）其四个面都是直角三角形；（2）有一条棱垂直于底面直角三角形非直角顶点（这一条可用于辩识鳖臑）. 我们常在立体几何的概念辨析题中遇到像“三棱锥最多有三个面互相垂直”这类说法，根据鳖臑，很容易发现这一类说法是错误的. 跟墙角型三棱锥一样，这样的几何体外接球直接使用其“外接长方体”来求.即

长的平方+宽的平方+高的平方=4倍的外接球半径的平方.

3.正四面体

如上图所示，三棱锥D1--ACB1是正四面体，其中ABCD--A1B1C1D1为

正方体

. 由上图可见，实际上任何正四面体都是特殊几何体，它可以放在某个正方体中，其任一条棱都是正方体的面对角线，所以易得，若

正四面体棱长为a，其外接球半径就为√6/4a.

这里简略阐述正四面体的判定于性质定理，这一块很重要，要认真细致地学习. （1）各个面都是全等的等边三角形的四面体是正四面体.正四面体一定是正三棱锥.

题外话之衍生正三棱锥易错概念

：①底面是正三角形且侧面面积相等的四面体

不一定是

正三棱锥（

当其顶点到底面的投影在底面正三角形旁心上，也满足上述条件，但其不是正三棱锥

）.

（2）当

正四面体棱长为a时，其高为√6a/3，其外接球半径就为√6a/4，内切球半径为√6a/12.这一点需要背记.

今天就讲到这里了，请记住，不论何时，都要永远相信光芒，永远面朝太阳. 只有时刻满怀着这样的信念，我们才能不被命运的荒唐所打倒…… 然后，俟君舞戟劈天去， 乌蒙丛中见她啸.