一个数值问题

此前有个朋友问了我这个问题，现在想小结一下：

有个游戏角色被动技能是每次攻击获得1层buff，5层buff时攻击必定暴击，暴击后buff清零，此外角色每次攻击还有5%的默认暴击率，正常触发的暴击同样会导致buff清零，请问这个角色每次攻击的暴击率期望值是多少？

当然，这个问题的一个假设是这个游戏角色一直在攻击，没有间断。

我当时的回答是这样的：

设任意时刻，触发暴击的概率是期望一样的，为x：
1 假设此前5回合都不暴击，那么本次暴击的期望是(1–x)^5*1
2 否则，暴击的概率是0.05，期望是(1-(1–x)^5)*0.05

显然，x=(1–x)^5*1+(1-(1–x)^5)*0.05
5次方程没有公式解，利用二分法求0到1之间的根即可

这个解法不能直接计算，但是可以得到关于x的方程。

考虑等价无穷小：

(1–x)^5≈(1-5x)；(1-(1–x)^5)≈5x

上述方程简化为：

x=(1-5x)+5x*0.05
5.75x=1
x=4/23=0.174

直观上来说，这个数值应该至少为1/6，因为每5次不暴击，第六次就必然暴击。此外，最多比1/6只能多0.05，即5%的默认暴击率。

1/6=0.16666……，而近似解0.174在合理范围。

最后，就可以得到期望x和暴击率，以及次数的一个近似线性关系，这个线性关系对于游戏设计显然是有帮助的。