这竟如此的让人错愕，高中直至大学困在我脑海里的一系列问题，居然以一种不可思议的方式联系到了一起，就像是远在地球另一边的陌生人踢了一次足球居然是我解决失恋的关键因素，这或许就是对马原中“万事都有联系”的最好阐述吧。什么样的东西居然能把“什么是数字”、“求自然数平方和”、“体积公式与面积公式”、“复合函数”、“量子力学量子化的原因”、“微积分中的积分”“求和符号Σ”等问题穿在一条丝线上？这一次，让我们从高等数学以及量子力学的角度出发，前往一个全新的高度

从一个小小的引例开始，读者可以花上3分钟思考，或者花一天去求解更好，学习能够让人的心灵更加深邃，喝酒可不会~o(〃'▽'〃)o

                    自然数求和的种子

       在我读高中的时候，我的好朋友凯凯给了我这道题目，他告诉我这个可以化简成一个公式，不要百度，只能用几张纸和笔算，然后坏笑着离开了。当时谁也不知道这会是一颗小种子，种在了我的数学学科里，最后会长成一颗结毒果子的树。

       这个问题当时我没有想出来，两天晚自习我都在想办法算这个，当时我的物理老师说我是浪费时间，“不务正业”。确实是这样，我的数学高考考的很差，因为我走进到了高中生不该去的“禁地”并且无法逃脱出来（不过现在看来，到了大学该不该进也是一个问题），满脑子都是这个问题引发的一系列问题。

        因为当时没用手机，所以全程都是一张纸推算这个，之后上网搜找到了4种以上的方法推导这个求和公式。有趣的是，我的方式是其中一种的变种，注意“变种”这个词，如果我的想法和前人一样我就不会走歪了，我是目前唯一一个这样歪着走的人，这导致了之后的一连串事情，所以这一部分标题叫种子。其中最好理解的推导过程是用几何思想。

        我试着把这个问题抽象成几何问题，每个正方体边长是一个单位

于是接下来一下就柳暗花明了，我把它们叠在一起

然后，我就开始走歪了，一头扎进了那个可怕的深渊。先继续正常求解步骤

然后对这个“正方体”稍作一些处理

答案如图中所示

                                  萌发

多么精妙的证明啊

再看好兄弟我的证明吧

接着第二步，我得到了这个物体，在我眼里它是非常不好看的，就像没有提公因式的式子一样

于是我把它的每一层都往中间挪动，变得更规则一点

       可能有人看图就已经知道我要干嘛了，我化出来的是图的下半部分，显然不是图的上半部分。因为此时的每个正方体边长都是一个单位，就可以把这个正方体抽象成1，也就是说抽象成平滑的东西，可连续的东西，就变成了求四棱锥的体积问题。到这先暂停一下，我相信各位在这个地方都有很多问题要问我，我们先看看情况。

      这个金字塔的底的边长是n个1，那我直接代入四棱锥体积公式1/3✖️s✖️h

求和                   为1/3 乘  n     乘     n      乘n

再看真实答案    为1/3 乘 n+1  乘 n+0.5  乘n

这个答案居然是如此的接近，让我开始怀疑人生，（要是错的一塌糊涂就不会让我难受了）我无法判断我想的到底是对还是错。

     这个问题的关键其实是：

     1.图中的金字塔的下半部分每个正方体代表的是1吗？

     2.图中上半部分分割开出来的每部分能代表1吗？

     3.如果能那我用一个球去代表1可以吗？算的出公式吗？

     

                                 爆炸

      只要上图里的每个正方体就是1，那推导过程就是对的，只要图里的上半部分的每一份子也能代表1，那我就是有可能对的。

       数字“1”到底代表了什么？1➕1＝2谁都知道，那1是多大呢？！你们有没有思考过这个问题？你能告诉我1有多大吗？如果能那1是什么呢？（数都是由1构成的，只需要想明白1是什么就行了。比如22就是22个1）

      

      我开始纠结什么是数。这颗种子在我高中生涯不断成长，最终在我的脑海里结出了苦涩的果子。

       明显不太对劲啊，但是我又说不出来哪里不对劲，以至于高中和很多人表达这个的时候我都是无法描述的。图的上下部分应该是一样的，因为误差不大说明只是缺少一个修正因子来重正化。1应该可以是任何样子的•᷄ࡇ•᷅

       所以我们完全可以把这些底层的一个单位取成任何需要的大小，比如我把自然数平方求和里的每一块正方体抽象成1个单位，那我就可以把它当作一个

      其实更早之前我就已经纠结过类似的问题了，现在一想，如果不是这片“土地”有问题，那我也没有机会结出这种奇怪的果子，而且真的是万事都有联系。让我们把时间往前调十几年看看。

        我还在读小学，老师教了我一个公式，这个也许是人生学的第一个公式吧———矩形的面积公式。就是很简单的长✖️宽，这有啥好说的呢？你们还记不记得我们有用过格子本本画过图形，画三角形平行四边形什么的，然后老师问我们怎么求他们的体积。

图

我数了一下底边有几个格子，然后代入公式计算了，这这这这不对吧？公式是底✖️高，明显是拿边✖️边呀，我这是拿面积✖️面积啊，为什么要拿这一串矩形代表边呢？请注意这是升维行为，放到三体里你都是嘎嘎乱杀的文明。而我只是每次数格子的时候会头疼一下，然后就跑去玩了不管了。

图

数线段我就一点也不头疼

        结束闪回，在高中的时候，很常用到高斯求和，这个公式有一个简便的记忆方法，我不记得是从哪里学来的了，现在你们还记得吗(●'◡'●)

     1+2+3+4+……+ n = n (n+1) /2

        有一位高手教我，这就是梯形的面积，上底➕下底的和✖️高➗2，如上图所示。

       咦？这东西怎么又来了怎么和金字塔那个问题这么像，这个东西是梯形吗？那怎么用梯形面积算呢？是巧合吗？那为什么金字塔问题也一样呢？这怎么阴魂不散(ꐦÒ‸Ó)我每背这个公式一次我就会头疼一次。

        这一切东西都搅在一起，我的小脑袋是彻底无法好好运转了，别人还在上大分，我在这算1+1，最后，我的高考数学还没及格，这就是毒果子，这就是每个老师都骂我并且都警告我的禁地，这就是我的下场。我也接受了事实，因为我不能像任何人证明我的想法，我感觉这一切关于数学的都有问题。当时找周大师我也没能向他表达出来我的想法，实在是抽象。

     

但......

事实真的是这样吗？

 

这么离谱的东西有可能是对的吗？

代入金字塔的思想，上图的那个东西能当做三角形然后数格子算面积吗？

所有东西我可以任意改变它的形状然后算我需要的东西吗？金字塔可以当四棱锥求体积吗？

答案是：还真能。

 

       金字塔变成四棱锥，之前图中的几个格子变成了梯形或者三角形，但是我们很难接受那样的东西是四棱锥或是梯形，但是它们算出来都是特别特别接近真实答案的，这就让我无法确定真相是什么样的，为什么会有这个误差，把世界转化成粗糙的模型为什么会刚好差了那么一点而不是完全错误呢？。

      

           

      最终我的的结论就是，数学世界既可以粗糙也可以平滑，但是我不敢肯定也找不到支持的证据。因为我的表达水平有限，我也很难把这一段抽象的想法精准的分享给大家，还请见谅

                      量子力学的诡秘

      前面可能让人有点头疼，我整个高中一直都没弄明白，我只感觉我可能错了，似乎有哪里不对劲。就像标题里的：我“失恋了”，我再也不去想这个问题了。如果不是周大师，我可能一辈子都弄不清楚，背公式的时候继续头疼。让我们换一个地方，轻松愉悦一下，去“地球的另一边踢足球”看看，去一个和这几个数学问题“毫无联系”的地方。

       众所周知，量子力学跟玄学一样玄，著名的几个特性便是“不连续”和“不确定性”，这两兄弟每一个都很离谱，现在再不了解等以后短视频介绍的时候就晚了呀！

        有个好玩直观的关于不连续的比喻，世界上存在这样一种楼梯，只有一阶二阶三阶n阶，却没有分数阶，过了第一阶就是第二阶，你可能还没意识到事情的严重性，你从第一阶向上走，只能到达第二阶而不能到达两阶台阶的中间，人不就是从第一阶缓缓抬高变成第二阶吗？但是这种楼梯就不能连续的抬上去，你一抬脚就是第二阶，你无法处于两阶楼梯的中间。就像玩游戏卡了一样，你在不同楼梯台阶上走，却不能有连续的动作。还有一种比喻就是1和2之间没有数字，过了1就是2，没有1.5。电子在自己的轨道上围绕原子核运行，如果发生量子跃迁，就直接“闪烁”到那个轨道上去，注意闪烁这个词，可谓是毫无夸张成分，它就是瞬间过去的，不是走某条路过去的，这就是量子跃迁。

       而能量的传递，也是一段一段的，就像给你倒水必须1升1升的倒，不能倒出其他值来，动量也是量子化的，想想我的世界，你倒水或者传递能量倒出的是一堆一样大的小方块，好粗糙啊可恶（悄悄地暗示：就像10个1一样）

        不如一个现象说明得直观，这次直接来个极简版

       没错这就是爱因斯坦研究的那个光电效应，爱因斯坦是因为这个的研究拿了诺贝尔奖，而不是因为相对论的研究（可恶啊）。简单的讲就是电筒照上去了，会有金属粒子吸收能量，然后丢出电子，金属我呀太热了就要脱衣服(●'◡'●)。但是奇怪的现象就是，如果你换了一块“耐热的”金属，你用图中这个手电筒照是不会射出电子的，那你拿10万个手电筒都不会让这个金属脱衣服的，属属我呀就是不脱(●'◡'●)，但是此时你只要找个更亮的电筒，金属立刻会丢出电子，就算你只用一个手电筒照，金属一样会“热”。

       量子力学的世界变成了一段一段的，和现实世界截然不同，无论你是否相信，但是这就是一条无法改变的事实，写进教科书里的内容。在量子力学中，世界就是不连续的

       而不确定性，则是导致了这个世界变得如此唯心的原因，具体的解释我想下次多花点时间来写。

       以下部分，是基于我最喜欢的zzc大师的指导，他是量子力学高手，顶级大学里的哲学家一枚

(●'◡'●)

      我作为外行人，我只知道这些表面的现象，只是觉得诧异，而zzc已经深入学习了其中的奥秘。不连续这种现象被称为量子化，至于为什么会量子化的原因我一直不知道，终于，在上个暑假z大师给我解惑了。

微观粒子还是以量子态的形式存在

而量子态是一种概率波

如果在无限大的空间，没有任何阻碍的话

概率波是无限延伸且不会量子化的

就像平面波一样

但是现实生活中不可能有这种无限延伸的空间

就像房子会有墙壁一样

这种墙壁会导致波函数在房间内部发生振荡

这些震荡根据波动原理就会形成驻波

而驻波就是具有量子化的特点

      虽然很复杂，但是没有但是，这已经是最好理解的说法了，我们可以看一看书，结合一下理解（周大师的字是真不错）

可以只看红色圈起来的部分，第一行是碰到边界必须发生的事情，sinka=0，故有k=nπ/a，n必须取整数，才能使sinka=0，用z大师的原话就是，数学算式逼迫我们不得不量子化，不得不把n取整数1 2 3 ...n，而不能取0.5，必须不连续，这是经典的情理之中却又在意料之外，用哥本哈根学派（量子力学学派）的原话：闭嘴，别问，算就完了！

       我们自己打开了潘多拉的魔盒，却没人知道底层的秘密。要承认数学是对的，就必须承认量子化的存在，然而，那天我和z大师谈话并没有那么简单，他让我学会了量子化这种思想，看见什么都想量子化一下，最近我刚好学完积分，这让我我突然意识到，要不咱把积分也量子化一下？

                                 ∫和Σ

      

     

我们来看看∫的意义

我们只需要把图中的△x取趋于无穷小，对应的曲边梯形也就无穷接近于一个长方形，那么把这些长方形面积加起来就是这个曲边图形的面积

即底乘以高乘以个数

∫  f（x）dx=面积

这里dx=△x

注意，这个地方是无穷细分下去的，也就是说这个长方形的底边是接近于0的，要多精细有多精细，而长方形的高就是我们函数在x那点的值f（x），就像是把每图片里的曲线和x轴围成的图形的面积变成了一条一条的竖直线加起来，并且是无数条线，那我们说我们的结果百分百=面积是毫不夸张的。类似的我们还能用这种方式把圆的面积给积出来，再逆向求π值，于是得到了一个百分百精确的真实π值。积分很准确，也很连续，也很合理。

      可是，我们联系一下Σ，就会发现，那西格玛求和不也是这样的吗？

 ps：  Σ i=1 ，上限为n   i²=1²+2²+3²+4²+.....+n²

长方形底边是1，高是i²，如图

这简直和积分思想是亲兄弟，Σ也求出了真实面积

有几个特殊的不一样的地方：长方形数量很少，是有限的，底边也很长（看起来很粗糙），并且不连续，你要是学积分那样无限划分长方形在第一个长方形和第二个长方形中间加一个高为1.5的长方形就错了，请注意高度过了1就是2，没有1.5这个高度。（强烈暗示）

        我那时终于明白Σ也是积分，是一种特殊的积分，是一种量子化了的积分，把微元dx扩大到了整数1，也就是说，Σ就是积分量子化了的例子！把积分域分成了一段一段的，这也正是不连续的，Σ就是数学中的一位“异类”！这再次告诉我，量子化和连续化都是对的！那这不就是我之前思考的问题的答案吗！！！那一天我几乎在周大师面前大喊大叫了

                                尾声

      简直是畅快，一切在那一刻全部联系起来，编织成一条漂亮的丝带，永远的系在了我的心中，那几个冥冥之中与我有仇的问题终于浮出水面，我以为我走向了禁地，没想到是一条全新全异的路，并且通往真理。世界既是连续的也是不连续的，倒不如说世界的本质是那样一直没变过，而我们可以选择两种方式来看待，一个是连续化，一个是量子化，两者都等价，但却“截然不同”，这和物质既是波也是粒子还挺像，截然不同却又同时出现在一个载体上。连续化就是充满了无限细分的细节，从1到2有无数个中间站，

正如面积公式体积公式那样。比如长乘以宽：长是无数个细分的△y，宽是无数个细分的△x，它们进行乘法运算，得到的面积，要像积分一样，也就是∞个△x乘以∞个△y。

但是，我们也偶尔可以量子化一下，不取无穷小，比如此时的格子，我们取最小为一格，我们同样可以数格子直接乘出面积。前面提到的金字塔，就是我们对四棱锥的量子化，最小单位变成了一个正方体，而不是可以无限细分，而自然数求和的那个格子，就是梯形的量子化（或者对三角形），之所以产生误差，是因为我没有改变“”域”，量子化的关键就是在于我们会改变“域”，世界最基础最核心的地方在于复合，我们把一切东西都可以像程序一样打包起来，提供给别人，别人可以忽略所有这些内层的东西，我们只需要提供一个域给外层（接口），就能等价复合。而我们要把金字塔当做四棱锥，就是一种复合，给外界提供的是四棱锥，那域就必须要对应的改变，当时我没有改变，如果改变了四棱锥的底面的长和高，那么得到的就是真实答案。量子化和连续化都是复合的一种手段，也许是全部手段。最后的结论很简单，许多人也都明白这个道理，但是这个看似小小的道理却给我带来如此多的震撼。

     所以说自然数求和公式推理那部分，我走的是量子化的积分思想，也就是Σ这条路，但是没有精确算出Σ的上域和下域，导致了计算结果出错，只需要挑选出简单的量子化思路且把域计算好就能非常快捷的解决很多问题。

     

        有一个恰当的比喻，你面前有一条河流，河流本身是连续不断的，由无数个微元积分出完整的河流，但是我们研究河流的方式是选择将其量子化，分成一段一段的河流，每一段取多大都可以，对我们研究的帮助也不一样，你要研究流向你就量子化分段看，你要研究水质问题你就选每一滴水（相当于连续化，把微元取无线小）。所以连续应该是自然界的一种本质，而量子化是我们研究自然界的一种工具，这样的体系下更加简便，我可以直接用四棱锥体积，梯形面积等来解决复杂问题。

 

  数学里一切都能用1表示，这代表的是一切都能微积分，1就是那个微元，微元能组成一切。

    那我把现在的“1”的大小改变呢？也可以，微元的大小能改变，要调整域。我可以选1/3当做一个单位（一个新的1，一个新的微元！），那旧版的1就是刚好三个单位

                                   1=3个单位

       把1/2当做一个单位，旧版的1就是两个单位了

                                   1=2个单位

        ok，新建立出来的这套数学就叫fe数学吧，在这个1的大小被改变的数学世界中任何公式还是一样适用，完全没问题（公式✖️2或者✖️3就行了）。那么有人会问了，这不是闲着没事干嘛？

       ———那恰好证明“1”是什么都一样。

注意“什么”这个词，还记得三维的正方体或者球体，二维的正方形，一维的点也能代表“1”吗，甚至是我的手的形状都可以代表。

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