LCS以及FTLE的发展和应用

拉格朗日拟序结构(LCS,Lagrangian Coherent Structure)方法是一种采用了动力系统几何视角的拟序结构探测方法。从概念上讲,拉格朗日框架中的相干结构是一组相似的轨迹,即在任何惯性参考系中共同运动一段较长时间的轨迹。显式地或通过定义集合边界来明确定义满足这一准则的初始条件集合的方法,很大程度上依赖于研究由渐近时间特性定义的不变流形的几何形状,早期研究者还采用类比的方法假设真实流动中可能存在某种动力系统理论预测的理想结构(如鞍点、焦点和环面等)并加以分析。拉格朗日拟序结构理论[1]识别了在复杂流动中组织物质运输的特殊结构,它可以帮助量化物质运输,预测甚至影响大尺度流动特征或流体混合。最初,LCS与有限时间李亚普诺夫指数场(FTLE,Finite Time Lyapunov Exponent)的计算紧密相关[2];最近,LCS已经采用变分原理[3]被重新公式化,将它们定义为流体流动引起的局部变形场的相应测地线。这种新的定义允许根据变形类型(例如双曲型,椭圆型),依据流动中流体粒子的不同行为,在二维和三维情况下对LCS进行更精细的分类。Haller[4]最近的综述详细介绍了LCS理论中的最新技术。

LCS技术最早应用在海洋洋流的研究当中,但渐渐地也被研究者应用于失速翼型的空气动力学问题当中。Shadden等[2]研究了翼型上振荡流动的LCS结构,表明吸引的拉格朗日拟序结构(attracting LCS)可以十分准确地描述翼型的分离情况,然而他的研究没有关注涡脱落问题。Cardwell等[5]在此基础上,研究了失速翼型上的涡脱落问题,表明LCS确定的不变流形可以帮助确定涡核的位置、涡的边界以及在何时何处流体粒子被卷吸到涡核内;另外,LCS还可显示涡系之间的连接。Cardwell等[6]又利用不稳定流形和稳定流形将翼型脱落后的涡分成具有不同粒子混合行为的区域,并通过追溯不同区域粒子运动,分析了失速翼型涡脱落时粒子的来源。其中稳定流形为排斥的拉格朗日拟序结构(repelling LCS),可以由FTLE场的脊来估计;而不稳定流形即attracting LCS,可以从向后反推的流场速度序列求解FTLE场得到。而Eldredge等人[7]研究了低雷诺数下振荡椭圆翼型的流场拟序结构,表示attracting LCS看起来类似脉线的结构,符合对涡系的直觉想象,但是repelling LCS则比较反直觉;他们的研究表明,repelling LCS包含了许多分布在翼型上游的叶状结构,它们都与相应的尾迹涡系结构对应,并会将流体卷吸到相应的涡系当中。Huang等人[8]则使用欧拉视角的各种方法和LCS方法分析了上仰平板的流场结构,并表明LCS确定的鞍点(attracting LCS和repelling LCS的交点)有帮助确定涡系生长、脱落和破裂的关键时间节点和位置的潜力。而在对动态失速问题的研究中,Mulleners等人[9]利用实验采集到的数据计算LCS结构,也表明LCS确定的鞍点可能标志了涡从边界层中的脱离,同时他们结合本征正交分解(POD, Proper Orthogonal Decomposition)分析了发生动态失速现象的时间节点。
参考文献
[1] Haller G. An objective definition of a vortex[J]. Journal of fluid mechanics, 2005, 525: 1-26.
[2] Shadden S C, Lekien F, Marsden J E. Definition and properties of Lagrangian coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in two-dimensional aperiodic flows[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2005, 212(3-4): 271-304.
[3] Haller G. A variational theory of hyperbolic Lagrangian coherent structures[J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2011, 240(7): 574-598.
[4] Haller G. Lagrangian coherent structures[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 2015, 47: 137-162.
[5] Cardwell B, Mohseni K. Lagrangian Coherent Structures in the Wake of an Airfoil[C]//AIAA Infotech@ Aerospace 2007 Conference and Exhibit. 2007: 2771.
[6] Cardwell B M, Mohseni K. Vortex shedding over a two-dimensional airfoil: Where the particles come from[J]. AIAA journal, 2008, 46(3): 545-547.
[7] Eldredge J D, Chong K. Fluid transport and coherent structures of translating and flapping wings[J]. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science, 2010, 20(1): 017509.
[8] Huang Y, Green M A. Detection and tracking of vortex phenomena using Lagrangian coherent structures[J]. Experiments in Fluids, 2015, 56(7): 147.
[9] Mulleners K, Raffel M. The onset of dynamic stall revisited[J]. Experiments in fluids, 2012, 52(3): 779-793.