当处理组数为两组时方差分析结果与t检验的结果是【完全等价且t²=F】的简易推导

对同一计量资料，当处理组数为两组时方差分析结果与t检验的结果是

A.方差分析的结果更可靠

B.t检验的结果更可靠

C.完全等价且√t=F

D.完全等价且t²=F

E.理论上不同

∵v间=2-1=1，v内=n-2=n1+n2-2

∴F=MS间/MS内=（SS间/v间）/（SS内/v内）

=[n1×（x1拔-x拔）²+n2×（x2拔-x拔）²]/[∑∑(xij-xi拔)²/（n1+n2-2）]

=[n1×（x1拔-x拔）²+n2×（x2拔-x拔）²]/{[∑(x1i-x1拔)²+∑(x2i-x2拔)²]/（n1+n2-2）}

t²=（x1拔-x2拔）²/{[（1/n1）+（1/n2）]×[（n1-1）×S1²+（n2-1）×S2²]/（n1+n2-2）}

=（x1拔-x2拔）²/[（1/n1）+（1/n2）]×1/{[∑(x1i-x1拔)²+∑(x2i-x2拔)²]/（n1+n2-2）}

要证明t²=F，只需要证明n1×（x1拔-x拔）²+n2×（x2拔-x拔）²=（x1拔-x2拔）²/[（1/n1）+（1/n2）]

n1×（x1拔-x拔）²+n2×（x2拔-x拔）²

=n1×（x1拔²-2×x1拔×x拔+x拔²）+n2×（x2拔²-2×x2拔×x拔+x拔²）

=n1×x1拔²+n2×x2拔²-2×n1×x1拔×x拔-2×n2×x2拔×x拔+（n1+n2）×x拔²

=n1×x1拔²+n2×x2拔²-2×x拔×（n1×x1拔+n2×x2拔）+（n1+n2）×x拔²

=n1×x1拔²+n2×x2拔²-2×x拔×（n1+n2）×x拔+（n1+n2）×x拔²

=n1×x1拔²+n2×x2拔²-（n1+n2）×x拔²

=n1×x1拔²+n2×x2拔²-（n1+n2）×[（n1×x1拔+n2×x2拔）/（n1+n2）]²

=n1×x1拔²+n2×x2拔²-（n1×x1拔+n2×x2拔）²/（n1+n2）

=[n1×x1拔²×（n1+n2）+n2×x2拔²×（n1+n2）-（n1×x1拔+n2×x2拔）²]/（n1+n2）

=[n1×x1拔²×（n1+n2）+n2×x2拔²×（n1+n2）-n1²×x1拔²-n2²×x2拔²-2×n1×n2×x1拔×x2拔]/（n1+n2）

=[n1×n2×x1拔²+n1×n2×x2拔²-2×n1×n2×x1拔×x2拔]/（n1+n2）

=[（n1×n2）/（n1+n2）]×（x1拔-x2拔）²

=（x1拔-x2拔）²/[（1/n1）+（1/n2）]

即t²=F