我小学的时候是怎么推导出来幂函数不定积分公式的

六年级时，教了圆锥是等底等高圆柱体积1/3，方法就是圆锥里装水往圆柱中到，显然这太不严谨了，我就开始研究

设某个截面距离圆锥尖x，半径为ax，设截面面积为y=πa^2 x^2,再设这个圆锥的底面距离圆锥尖为b

这个问题就可以化为求影阴部分面积占长方形面积的比例

显然把这个图像沿x轴y轴拉伸对这个比例没有影响，所以可以想象一下，把这个图片无限放大，问题就可以变为

       n

Lim =∑i^2  /n^3= lim  =(1/3n^3+1/2n^2+1/6n)/n^3=1/3

n→∞ i=1         n→∞

稍微整理一下，就可以得到x^2的不定积分为1/3 x^3

使用相同的思路就可以得到幂函数积分公式∫x^a dx=1/(a+1) x^(a+1)

∑ (i+1)^(a+1)=∑i^(a+1)+（a+1）∑i^a +........

      ↑         ↑     ↑         ↑

     用这个    减这个  再除这个   最后减去这串

就可以得到

n

∑ i^a展开式最高次项为1/（a+1）n^(a+1)

i=1

另外还用了同济高数第六版44页的那个结论，但是我真的忘了我以前咋怎么求的那个玩意，就不说了，不定积分幂函数的公式我以前就这么求的，不定积分都会了再推出来导数也没什么难度吧，这玩意我以前推的时候用了我半个练习本，脑子差点给我干烧，函数什么的都是课外书上了解到的，我觉得我都能推出来了学起来肯定没什么困难才觉得我表弟四年级学大学药学没什么难度，怎么这么多人喷