就 一 模拟题 导数大题 第二问 之解析
题6.
(2)
即
方程
(xlnx-1)/x²=a
有两根
x1，x2
即
方程
（lnxe^lnx-1）/e^(2lnx)=a
有两根
x1，x2
设
lnx1，lnx2分别为t1，t2
即
方程
（te^t-1）/e^(2t)=a
有两根t1，t2
设
h(t)=（te^t-1）/e^(2t)
有
h'(t)
=
(1+t)e^t-2(te^t-1)
/
e^(2t)
=
(1-t)e^(-t）+2e^(-2t)
即
h"(t)
=-e^(-t)-(1-t)e^(-t)-4e^(-2t)
=(t-2)e^(-t)-4e^(-2t)
即
h'''(t)
=e^(-t)-(t-2)e^(-t)+8e^(-2t)
=(3-t)e^(-t)+8e^(-2t)
且
lim(t→-∞)h(t)=-∞
lim(t→+∞)h(t)=0
设
h(m)=0
有
m＞0
设
h'(t。)=0
有
(1-t。)e^t。+2=0
0＜m＜t1＜t。＜t2
设
H(t)=h(t)-h(2t。-t)，t∈(m，t。）
有
H'(t)
=h'(t)+h'(2t。-t)
即
H''(t)
=h''(t)-h''(2t。-t)
有
me^m=1
即
e^(-m)=m
0＜m＜1
即
-4m²-8m＜0
即
2(t。-1)²-2m(t。-1）+m(m+1)＞0
即
m(1+m-2(t。-1）)+2(t。-1)²＞0
即
m(3+m-2t。)+2(t。-1)²＞0
即
4m(3+m-2t。)/(t。-1)²＞-8
且
(1-t。)e^t。+2=0
即
e^(2t。)=4/(t。-1)²
即
(3-(2t。-m))e^(2t。-m)＞-8
即
t∈(m，2t。-m)
有
(3-t)e^t＞-8
即
(3-t)e^(-t)+8e^(-2t)＞0
即
h'''(t)＞0
且
t∈(m，t。）
有
t＜2t。-t
即
h''(t)-h''(2t。-t)＜0
即
H''(t)＜0
且
lim(t→t。-)H'(t)
=2h'(t。)
=0
即
H'(t)＞0
且
lim(t→t。-)H(t)=0
即
H(t)＜0
即
H(t1)＜0
即
h(t1)-h(2t。-t1)＜0
即
h(t1)＜h(2t。-t1)
即
h(t2)＜h(2t。-t1)
即
t2＞2t。-t1
即
t1+t2＞2t。
且
ln√2/√2＜1/e
即
eln√2＜√2
即
√2eln√2-2＜0
即
(ln(√2e)-1)e^ln（√2e)-2＜0
即
(ln(√2e)-1)e^ln（√2e)-2
＜
(t。-1)e^t。-2
且
ln(√2e)，t。＞0
即
t。＞ln(√2e)
即
2t。＞2+ln2
即
t1+t2＞2+ln2
即
lnx1+lnx2＞2+ln2
即
ln（x1x2）＞2+ln2
得证
ps.
一家之言
如有谬误
欢迎校正
亦
欢迎诸君
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飨以诸君
