勾股定理论文
当我们画出一个直角三角形（a>0且a,b为直角边）
根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边只差小于第三边，不难得出一下结论：
a+b>c
a-b<c
经过整理可得
a-b<c<a+b
∵a>b，且a，b，c均为正数
∴a-b>0，(a-b)²<c<(a+b)²
a²+b²-2ab<c²<a²+b²+2ab
到这里我们发现，
c²处于a²+b²-2ab与a²+b²+2ab之间，
c是不是它们两数的中间值呢？
如果是，那么我们就可以作出有关这个猜想的等式，并使用数形结合的方法进行推导：
a²+b²=c²，假如有一个两条直角边分别为3和4的直角三角形，
也就是a=3,b=4，那么
若把它画出来，再用尺子量一下，可以发现第三条边的长度确实是5，这与我们计算的结果一样。再试试直角边长分别为6和8，8和15等数据，画出的图示也与计算的结果相等。
既然直角三角形的三边关系这么神奇，那么其它样子的三角形是不是也符合这一规律呢？
我们可以画一个两边长为3和4的锐角三角形，结果第三条边计算结果是5，但测量结果小于5；或者画一个两边长为3和4的钝角三角形，结果第三条边计算结果是5，但测量结果大于5。
再如果我们将a，c的位置互换一下，得b²+c²=a²，代入数字4²+5²=3²。这个等式使不成立得，即使使用测量法查不出错误，将b，c互换得结果也是如此。
显然，这个猜想目前能作用在直角三角形中并且c不能与其它单独得某个字母互换位置。其实，这个猜想先人已经提出来并验证过了。它的名字叫“勾股定理”。
勾股定理，又称“商高定理”“毕达哥拉斯定理”，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。在中国，周朝时期的商高最先提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。以上在《九章算术》《几何原本》内均有记载。
即
勾股定理的证法有500多种，其中，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。这张图对后世的影响及其重大，2002年第24届国际数学家大会用它做过会标
如图，已知IJLK是正方形且三角形①②③④⑤⑥⑦⑧为直角三角形
解：设BC=a，AB=c，AC=b
∴DF=IB=DK=GE=EL=AH=JA=BC=a
ID=BF=DG=KE=EH=AL=BJ=CA=b
∵三角形①②③④⑤⑥⑦⑧为直角三角形
∴它们全等（SAS）
∴BD=DE=AE=BA=c
∴CF=BF-BC=b-a
同理可得CH=HG=GF=CF=b-a
所以SCHFG=(b-a)²
又∵SCHFG=SBADE -S△BDF-S△DGE-S△AHE-S△ACB=C²-4×½ab=c²-2ab
∴SCHFG=SCHFG
即(b-a)²=c²-2ab
b²+a²-2ab=c²-2ab
a²+b²=c²
除此之外，还可以这样证明，证明：
解：设EC=a,AE=b,AC=c,
在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，AE=CD=b，CE=BD=a，AC=BC=c
S△AEC=S△CDB=ab/2
S△ACB=c²/2
SAEDB=(a+b)(a+b)/2
∵S△AE+CS△CDB+S△ACB=S△BEAD
∴ab/2+ab/2+c²/2=(a+b)²/2
∴ab+c²/2=ab+(a²+b²)/2
∴c²=a²+b²
以上这种方法叫“加菲尔德证法”又称“总统证法”
有了勾股定理，我们可以解决一些实际问题。如：
“我国古代有这样一道数学题：“枯木一根直立地上，高2丈，周3尺，有葛藤自根缠绕而上，5周而达其顶．问葛藤之长几何？”这里1丈=10尺，葛藤之长指它的最短长度．解题时，枯木视为圆柱体（如图所示）周3尺指圆柱体底面周长3尺．那么葛藤的长是 __________ 尺．”
作图，得
AB²=24²+（6*3）²，
解得AB=±30
∵AB>0
∴当AB=-30时不合题意，舍去
当AB=30时，符合题意
∴综上所述，AB=30
即此题答案为30.
勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值同时勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。我们站在先人的肩膀上思考这问题，计算着答案。咱这一代需要做的，就是努力学习，了解先人的智慧并给后人提供更多知识，为数学这座宫殿添砖加瓦 。
