无限循环小数与分数的等价性证明

欲证:z.a₁a₂…aₙb₁b₂…bsb₁b₂…bs……⇔p/q

请先至少独立思考五分钟🤔🤔🤔（其实我觉得二十分钟都不为过）

下面开始证明

预设:

①不妨设有限小数为循环节为0的无限循环小数；

②对一般形式无限循环小数:z.a₁a₂…aₙb₁b₂…bsb₁b₂…bs……，乘以10ⁿ，然后减去整数部分，得0.b₁b₂…bsb₁b₂…bs……。

若0.b₁b₂…bsb₁b₂…bs……有分数形式，则一般形式亦有。故证充分性时，不妨设无限循环小数为0.b₁b₂…bsb₁b₂…bs……；

②对既约分数p/q，若p≥q，则可减去整数部分无碍证明，故证必要性时，不妨设既约分数p/q（p＜q）。

充分性:

0.b₁b₂…bsb₁b₂…bs……

=b₁·10⁻¹+b₂·10⁻²…+bs·10⁻ˢ+b₁·10⁻ˢ⁻¹+…bs·10⁻²ˢ……

=b₁（10⁻¹+10⁻ˢ⁻¹+…）+…+bs（10⁻ˢ+10⁻²ˢ+…）

应用等比无穷求和（公比10⁻ˢ，故收敛）

=b₁（10⁻¹/1-10⁻ˢ）+…+bs（10⁻ˢ/1-10⁻ˢ）

=0.b₁b₂…bs/1-10⁻ˢ

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必要性:

对p/q（p＜q）进行除式的过程中会得到一连串余数，如图p/q取1/7，得余数1，3，2，6，4，5，1，3……。

已知余数r满足0≤r≤q-1，因q是有限正整数，故整数r在有限次内必定重复，而一旦取到重复，即开始循环。

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最近只更专栏，分两个主题。

一是读书感悟，基本都是数学杂书，等整理好思绪开更数学史。

二是数学基础问题，虽说是基础问题，但其实一般学生还真回答不上来，譬如今天这个问题。

开第二个主题的原因，是因为之前有篇专栏提到，千万不要丢弃那些刚开始学的时候提出的问题。因为你一旦丢弃了，你可能再也意识不到那里存在一个问题。在学数学的路上，你被迫接受的越多，就相当于你负重越多，结果不言而喻。

我希望后面提出的每个基础问题，你都能多花时间独立思考，尽量给出高观点下的口头解释，这是我最爱的，还记得吗？