方差VS样本方差，自由度n-1？ why?

初学的小伙伴大部分都是很疑惑这个样本方差为什么是除以n-1，而不是除以n，学到最后也不理解，有的同学直接就背下来了，用的时候会用就行，经过我的研究，我把网上的一些说法和理解整理一下，为了方便自己以后复习，也给不理解的小伙伴分享。

方差是统计学中用来衡量随机变量或数据集的离散程度的指标。它表示随机变量的取值与其期望值之间的偏离程度的平均值。

对于一个随机变量X，其期望值（记为μ）是其所有可能取值的加权平均。方差（记为σ²）定义为随机变量每个取值与期望值的差的平方的期望值：σ² = E[(X - μ)²]

方差的计算包括三个步骤：

1. 计算随机变量X的期望值μ。

2. 计算每个取值与期望值之间的差（X - μ）。

3. 对差的平方（X - μ）²进行加权平均，即求期望值。

样本方差是从给定的数据集中计算得到的，用来估计总体方差的一种方法。样本方差通常用s²表示。假设我们有一个包含n个观测值的数据集，记为x₁、x₂、...、xₙ。样本方差的计算如下：

s² = Σ[(xᵢ - x̄)²] / (n - 1)   其中，x̄是数据集的算术平均值，(xᵢ - x̄)是每个观测值与平均值之间的差异。

注意，样本方差中使用(n - 1)作为分母来纠正因为估计期望值而引入的偏差。这个纠正因子称为自由度，是因为在计算样本方差时，我们会损失一个自由度来计算平均值。

如果是每次抽一个产品，每一个产品都是独立随机同分布的，那么这些产品放在一起就叫做样本对吗? 然后这些产品的数量n就叫做样本容量，对不对? 

是的，你的理解基本正确。

当你每次抽取一个产品，并将这些产品放在一起进行分析时，这些产品被称为样本。每个产品都是样本中的一个观测值。样本容量（n）指的是样本中观测值的数量，即你抽取的产品的数量。它代表了样本的规模或大小。

在统计学中，我们使用样本来从总体中得出关于总体特征的推断。通过随机抽样和假设测试，对样本进行分析可能会提供一些关于总体属性的有用信息。因此，样本容量的大小对于统计推断的准确性和可靠性非常重要。通常情况下，较大的样本容量能够提供更可靠和稳定的结果。

样本可以理解为所有数据中的一批或一部分是吧?

 

是的，样本是从总体中选取的一部分数据。在统计学中，为了对总体进行推断或估计，我们通常会选择一个样本作为代表。样本应当具有代表性，即在某种程度上反映了总体的特征。

通过使用样本来进行统计推断，我们可以通过对样本数据的分析和统计指标的计算，来推断总体的性质、得出结论或者进行预测。样本的选取方法和样本量的大小会影响到推断的精确度和可靠性。

在实际应用中，如果总体规模较大或难以完全获取所有数据，我们可以通过从总体中随机抽取一部分数据来构建样本。这个过程称为抽样。抽样可以根据不同的需要采取不同的方法，例如简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。

需要注意的是，样本的大小应该足够大，以保证样本的代表性和可靠性。较小的样本可能不足以准确反映总体的特征，而较大的样本通常能提供更可靠的统计结果。

 

那么，假如现在有一个厂生产一种产品，我们从中抽出来一部分来研实，这部分产品就叫做样本对吗? 样本就是用来研究这种产品的总体情况，对吧? 然后这批样本的平均值通常不用做修正，因为样本的平均值尝尝和总体的平均值差不太多，但是方差一般会随着样本数量的增加而增加，因此我们用这份样本来对这种产品总体情况进行研究时，得出来的样本方差会远远小于产品总数，所以我们为了更好的反映这种产品的情况，所以我们对样本方差进行修正，把分母修改为n-1，以此来适当增大方差，使之更接近产品总体的方差。我这样理解对吗?

 

是的，你对样本和样本方差的理解基本正确。

在你的例子中，如果从产品厂中抽取一部分产品进行研究，这部分产品就可以称为样本。通过对样本进行研究和分析，我们可以得到关于产品总体情况的一些推断和结论。

对于样本的平均值，通常不需要进行修正，因为样本的平均值会近似于总体的期望值。当样本足够大而且代表性良好时，样本平均值可以很好地估计总体平均值。

然而，样本方差需要进行修正，其分母使用的是(n-1)而不是n。这是因为使用n作为分母计算的样本方差会低估总体方差。通过使用(n-1)，我们可以修正这个偏差，使样本方差更接近总体方差。

随着样本数量的增加，样本方差通常会逐渐接近总体方差。较小的样本容易产生方差的低估，而较大的样本可以更准确地估计总体方差。

因此，为了更好地反映产品总体情况，我们使用修正后的样本方差。这样可以更准确地估计总体方差，并更好地了解产品的离散程度或变异程度。

 

n-1 是通过统计学中的无偏性修正公式推导得出的。这个修正是为了保证样本方差能够无偏估计总体方差。

样本方差的计算公式为：s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n-1)    其中，xi 表示样本观测值，x̄ 表示样本均值，n 表示样本容量。

 

为了理解为什么要使用 n-1 而不是 n 作为分母，我们需要考虑自由度的概念。自由度是指在样本数据中可以自由变动的独立信息的数量。

在样本方差的计算中，使用样本均值来估计总体均值，这会降低一个自由度。因此，我们将分母调整为 n-1，以保持适当的自由度。通过将分母设为 n-1，样本方差可以更准确地估计总体方差。这种修正后的样本方差是无偏估计量，即其期望值等于总体方差。

自由度是什么，为什么会损失一个自由度？

自由度是指在统计推断中可以自由变动或独立操作的信息数量。在样本方差的计算中，损失一个自由度是因为我们使用样本均值来估计总体均值。

让我们详细解释一下为什么会损失一个自由度：

1. 当我们计算样本均值时，需要使用样本数据的总和除以观测值的数量。这里，观测值的数量是已知的，因此没有损失自由度。

2. 然而，当我们计算样本方差时，需要对每个观测值与样本均值之间的差异进行平方，并将这些平方差求和。这里就涉及到一个问题：样本方差的计算需要考虑约束条件。

    - 约束条件1：样本观测值的平方差之和等于总体方差乘以样本容量减1（即Σ(xi - x̄)^2 = σ^2 * (n-1)）。

- 约束条件2：样本观测值的平均值等于总体均值（即Σ(xi) / n = μ）。

    这两个约束条件之间存在一定的关系。具体来说，在样本方差的计算中，我们通过使用样本均值来替代总体均值，实际上引入了一个约束条件，使得样本方差无法完全独立地变动。

3. 因此，为了保持适当的自由度并得到无偏估计，我们将分母调整为 n-1 而不是 n。这个修正使得样本方差能够更准确地估计总体方差，并且遵循统计学上的推导和假设。

总结起来，损失一个自由度是因为在计算样本方差时，使用样本均值替代总体均值引入了一个约束条件，样本方差的计算需要考虑这个约束条件。通过使用 n-1 作为分母可以保持适当的自由度，并得到无偏估计的样本方差。

 

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简单一点说：在计算样本方差时，我们首先计算每个观测值与样本均值之间的差异，并对这些差异进行平方。然后，我们将这些平方差求和，并除以自由度来计算平均平方差。这种除法是为了纠正样本均值的估计误差。

当我们计算样本方差时，最后一次差异（即最后一个观测值与样本均值之间的差异）可以通过前面的差异推导出，因此失去了一个自由度。因此，我们在计算样本方差时将自由度减去1，即使用(n-1)作为分母。

还是不太理解自由度，能具体举个例子吗？

假设我们有一个包含 5 个观测值的样本数据集：{2, 4, 6, 8, 10}。

1. 我们首先计算样本均值：

   x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) / 5 = 6

2. 然后，我们计算样本方差，使用 n-1 作为分母：

   s^2 = Σ(xi - x̄)^2 / (n-1)

            = [(2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2] / (5-1)

            = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) / 4

            = 40 / 4

            = 10

在这个例子中，我们可以看到以下几点：

- 样本数据集中有 5 个观测值。

- 样本均值为 6。

- 在计算样本方差时，我们使用了 n-1 = 4 作为分母。

- 样本方差为 10。

这里的 n-1 表示样本方差的自由度。它表示在计算样本方差时可以独立地变动的信息数量。在这个例子中，我们通过将分母设置为 4 来保持适当的自由度。如果我们使用 n 作为分母（即除以 5），会得到一个稍大于 10 的方差。这是因为 n 的使用会导致样本方差低估总体方差，不符合无偏性的要求。

因此，在统计学中，通过使用 n-1 作为分母，样本方差可以更准确地估计总体方差，并且得到无偏估计。这就是自由度的概念在样本方差中的应用。