挺有用的常微分方程（六）
又到了学习常微分方程的时间喽！
今天我们要介绍的是……常系数非齐次线性微分方程！
（怎么有股少儿频道的味道……）
管他呢！
我们在一阶微分方程的解法当中，已经着重讨论过常数变易法这一重要的方法，它可以适用于多数的一阶常系数非齐次线性微分方程。
那么，一般的高阶方程呢？
Chapter Three 常系数线性方程
3.4 常系数线性非齐次方程
所谓非齐次线性方程，就是在通式当中，等号右侧的函数是一个并非在给定范围内恒等于0的函数。
我们考虑一些简单的情形，这在一般的应用当中基本足够。更复杂的情形可能目前也没有更一般的解法可以给我们参考。
设若右侧函数有形式：
其中，是关于t的多项式，而
是一些复数。由于其某些特殊的性质（据我猜测，可能是因为其求导过后仍然保持着相同的形式等等原因），我们将其称之为拟多项式。
不难想到，按我们之前的讨论，所有齐次常系数线性微分方程的解都是拟多项式。
拟多项式具有一些性质，大家可以证明研究：
（1）拟多项式的导函数仍为拟多项式；
（2）拟多项式的不定积分仍为拟多项式；
（3）拟多项式的和与积仍为拟多项式；
（4）任意拟多项式总可以表达成为具有以下特征的形式：
基于这些性质，我们在这一篇专栏当中将着重研究以拟多项式作为非齐次方程中的函数项的常系数非齐次线性微分方程。
为了更好的寻求解决方法，我们需要对解函数的性质有所研究。
设函数和
均为微分方程：
的解，那么就有：
考虑到微分与导数的四则运算性质，不难得到：
这说明，任意两个非齐次微分方程的解的差，都是对应的齐次微分方程的解。
（我忘记了有没有介绍过这一结论了，但不重要~）
有了这一结论，我们就不难利用反证法的思路，证明：
非齐次方程的任意一个解都可以表达成其某一个解与对应的非齐次方程的某一个解之和。
（命题1）
这一结论揭示了非齐次方程的通解的结构，因而对解决非齐次方程有着重要作用。我们已经研究过非齐次方程的解的求法，因此现在的问题就变成了用一定的方法求解某一特解。
我们现在来进一步研究右侧函数为拟多项式的微分方程的解的性质。
基于我们上面提到的拟多项式的性质，我们能够知道，拟多项式的微分与积分仍为拟多项式。这样，对于方程：
的解，我们可以将其分解为两个部分：
其中，是一个拟多项式，而
是一个非拟多项式。我们能够推知，非拟多项式的微分仍为非拟多项式。将解函数代入原方程，就有：
这样，由于右侧函数是一个拟多项式，因此就应该有：
这样就转化为了两个部分的微分方程的解的问题。而考虑到我们对齐次方程的解的研究结果，我们不难发现，齐次方程的解函数一定是一个拟多项式。这样就导致了非拟多项式的部分不存在（或者说恒等于0）。于是，我们就得到了这样的结论：
右侧函数为拟多项式的常系数非齐次线性微分方程的解函数一定是拟多项式。
这对于我们寻求特解有着重要的帮助。
我们很容易证明：
当和
分别是方程：
以及
的解时，方程：
的解为：
（命题2）
因此，只要我们研究出右侧函数为单项的拟多项式时，微分方程的解的情况，我们就能够很快地给出一些通用方法来解决问题。当拟多项式的结构如下时：
我们就不难猜测，解函数一定具有形式：
其中，也是一个多项式。
将解代入方程，得到：
两侧化简，得到：
此时，如果有：
则有：
（这一点在涉及到平移公式的专栏当中已经有所介绍~）
若设：
那么，由多项式的性质，我们就能够得到：
其中，l是特征多项式中幂次最低项的次数。考虑到，显然，l=k。
代入进去之后，我们就能够得到：
之后，只要逐次待定系数，就可以求出至少一个特解。
从上述过程当中，我们不难看到，事实上，方程应该存在形式为：
的特解。其中，k为特征根的重数，是m次多项式。（即次数与右侧拟多项式中的多项式相同。）
总结一下，就是说：
对于形式如：
的方程，其解满足：
若同时有：
则方程应该存在形式为：
的特解。其中，的次数与
一致，其表达式可以通过待定系数法求解。
（结论1）
如果，那么就将k记为0。这样，对于非特征根的
，也可以被包含在结论当中。
还有一种比较常见的情况，就是：
一般而言，此种情形下，微分方程一般写作：
的形式。对应地，自然也有正弦的形式。
考虑到解函数的共轭也一定是解函数，因此我们可以分离方程：
此时，只需要解其中一个方程，得到解，那么另一个方程也就解决了。最终，原方程的解为
。
（结论2）
思考：
证明拟多项式的性质；
证明命题1；
证明命题2；
解满足如下条件的微分方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
最後の最後に、ありがとうございました！
