结构有限元分析中，涉及到弹塑性材料、结构大变形大转动以及接触问题都是非线性问题，需要使用非线性工况进行求解。

Abaqus、OptiStruct及Ansys Mechanical等有限元求解器多使用牛顿迭代法，即Newton-Raphson迭代法，来求解非线性问题。

很多结构非线性培训资料都会用下面这张图来讲解牛顿迭代法，但说实话，笔者第一次看到这张图时，只知道是逐步逼近准确解，知其然但不知其所以然，不知道怎么来的。

牛顿迭代法有以下三种变形：常规牛顿迭代法，修正的牛顿迭代法以及牛顿下山法。有限元求解器一般会根据实际情况自动选择最合适的那种，帮助文档中一般不会讲得很细。

下面请听我一一道来。

1、常规牛顿迭代法

若不存在加速度和阻尼，有限元算法可以简化为求解平衡方程 

 ，其中刚度矩阵K和载荷F为已知条件，通常需要计算刚度矩阵K的逆矩阵从而求解位移矩阵X。

常规牛顿迭代法如下图所示，注意曲线L(u)并不是已知的，而是逐步求解出来的，下面详细说明求解过程。

假设分析步总载荷为100N，非线性算法中一般会分多次加载，比如分5次加载每次增加20N，5次加载过程称为5个增量步；每次加载时需要多次迭代才会达到平衡状态，称为迭代步，迭代时使用的算法就是牛顿迭代法。

假设在第n个迭代步时，需要加载大小为 f 的力，下面开始迭代，迭代顺序依次为：A>B>C>D>E。

常规牛顿迭代法的优点是收敛速度快。

2、修正的牛顿迭代法

常规牛顿迭代法每次迭代都是求解新的刚度矩阵K以及K的逆矩阵，计算量较大，如果刚度矩阵总是使用初始的 

 ，并且保持不变，则可以不求解求逆矩阵，大大减少了计算量，这就是修正的牛顿迭代法，示意图如下。

3、牛顿下山法

常规牛顿迭代法要求初始值必须在准确值附近才会收敛，初始值不合适可能会导致结果不收敛。

通过引入下山因子，保证了牛顿迭代法的收敛性。

因此牛顿下山法收敛速度快，一定收敛，而且对初始值要求不高，相比常规牛顿迭代法更稳健。