【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep15】数字革命：自无穷窥探有限
大家好，我是人见人踹，车见车爆胎的数学爱好者老碧，今天又来跟大家说故事，哦，不，说数学来了。小伙伴们一起来玩啊——每天五分钟，数学更轻松！
上期我们聊到了，“无尽小数”的定义：
9用无尽小数来表示实数
既然要达到用“无尽小数”表示实数的目的，自然地，就先得对“无尽小数”下一个定义。
（注：我们知道任何一个“十进小数”都分为“整数部分”和“小数部分”，而真正在这个定义的验证的重点是“小数部分”，因为“整数部分”总可以用一个确定的整数（正，0，负）来表示，小数部分的情形则比较复杂。
以我们都知道的根号2为例，我们可以知道它小数部分的前有限位，哪怕1亿亿亿亿位，但是我们无法给定它小数部分的全部——于是如何通过一个对象的局部去推断整体，就成为了数学中间一个重要的命题，即“分析学”的核心目的。）
书中首先给出了关于“十进小数”的一个简要说明：
接着，书上先考虑了情形一——
1.不是有尽小数（含整数）——我们还不知道这种小数是什么情况，我们要去定义它。
这里用到的方法就是老碧之前介绍过的“构造法”，意思也很简单，由“有理数分划”的定义出发：
下组取整数N，上组取整数M，那么界数必然位于两数之间。
令N+1=N1，比较N1与界数——
如果N1大于界数，则终止操作，令N=C0；
如果N1不大于界数——
则令N2=N1+1，如果N2大于界数，则终止操作，令N1=C0；
如果N2不大于界数——
……
将该步骤进行下去，总会取得一个数，使得Nk小于界数，Nk+1大于界数，令Nk=C0即可；
界数位于C0与C0+1之间（在这个过程中取不到界数的原因在于，操作中任何一个数都是整数，而界数不是整数）。
因为是十进小数，所以，C0与C0+1之间的一位小数有九个，记为C0.1，C0.2，C0.3，C0.4，C0.5，C0.6，C0.7，C0.8，C0.9，这九个数将C0与C0+1之间均分为十等份，而界数必然落在其中某一个小区间，记区间较小的端点为C0.c1，即界数落在C0.c1与C0.c1+1/10之间（依然界数不会跟任何一个区间的端点重合，因为该界数不是有尽小数）。
因为界数不是“有尽小数（含“整数”）”，所以类似3的步骤可以一直进行下去，对于任意的n，都存在有尽小数C0.c1c2……cn，使得界数位于C0.c1c2……cn与C0.c1c2……cn+1/10^n之间，每一步得到的有尽小数，都与我们要构造的数的距离更近。
那么，将过程推向无限，最终会得到的，就是上述一连串有尽小数无限靠近的那个数值，即这一列数的极限，还记得老碧在Ep8中提到过“极限论里有一个重要常识就是—一个变量的极限，这个变量不一定能达到”吗？于是我们就从无限的操作中得到了对那个不是“有尽小数”的数——C0.c1c2……cn……——我们称之为“无尽小数”
这样我们就得到了“无尽小数”的精确定义，而类似于“无理数”的感性认知是“数轴上点对应的不是有理数的数”——更朴素的“无尽小数”的定义仅仅是“不是整数，且，不是有尽小数的数”，我们以此为出发点，结合“十进小数”的定义，导出了“无尽小数”。
那么我们导出“无尽小数”的目的是为了得到另一种关于实数的表示法， 那么我们下一步必然要验证，“整数”或者“有尽小数”也有“无尽小数”的表示法，这样，所有的实数就都可以统一在“无尽小数”这一个形式之下，也就得到了实数的另一个定义。
书上给出了这个表示法：
亦即是说，任何一个整数或者有尽小数都对应两种表示形式。比如3.5可以表示为3.500000……或者3.499999……，这种形式是由我们定义“无尽小数”的方式得到的，我们试着按照“无尽小数”的构造过程来求出整数或者有尽小数的表示方式——
对于“整数”C，显然，对于任意自然数n，C-1/10^n<C<C+1/10^n，随着n的无限增大，这两个数与C的距离可以要多小有多小，也就是说，C两边的数的极限为C，而这两个数的极限分别是“无尽小数”（C-1）.99999……与C.00000……，即为C；
对于“有尽小数”C.c1c2……ck，显然对于任意自然数n>k,即n最小是k+1，C.c1c2……ck-1/10^n<C.c1c2……ck<C.c1c2……ck+1/10^n，随着n的无限增大，这两个数与C.c1c2……ck的距离可以要多小有多小，也就是说，C.c1c2……ck两边的数的极限为C.c1c2……ck，而这两个数的极限分别是“无尽小数”C.c1c2……（ck-1）99999……与C.c1c2……ck00000……，即为C.c1c2……ck。
由此可见，“整数”或者“有尽小数”也可以表示成“无尽小数”的形式，类似于“有理数确定的有理数分划”，它们也都分别对应两种表示方式。这两种形式是等效的。更严格的证明，我们早在Ep2就已经给出了。
自此，我们证明了，任给一个实数，都能找到“无尽小数”与之对应，明天我们继续来看反过来是否成立。——任给一个“无尽小数”，总能找到一个实数与之对应——即总能找到一个“有理数分划”与之对应。
注：本着“消歧义性”的原则，往往任何一本教材会给定，选择哪一种“无尽小数”形式来表示“有尽小数”或者“整数”，这样就实现了，每一个实数对应的“无尽小数”是唯一的。
