吴军数学通识-学习笔记（8）关于无穷小

15｜无穷小（一）：如何说服“杠精”芝诺？ - 得到APP (dedao.cn)

16｜无穷小（二）：牛顿和贝克莱在争什么？ - 得到APP (dedao.cn)

17｜无穷小（三）：用动态和极限的眼光看世界 - 得到APP (dedao.cn)

无穷小是什么

：无穷小并不是一个确定的数，更不是零，它和无穷大一样，是一种趋势，是一个概念

无穷小的意义

：当我们的头脑开始接受数的概念可以超出一个具体的数，而是一个趋势时，我们的思维就进步了，我们看待世界也不会一个点一个点地去看了，而是一个趋势一个趋势地去看。

无穷小的历史

：从芝诺，到牛顿、莱布尼茨与贝克莱，再到柯西和魏尔斯特拉斯

芝诺

：世界上最初认真思考无穷小这个概念的，是公元前五世纪时古希腊的芝诺。【芝诺悖论】

悖论一（二分法悖论）：从A点到B点是不可能的。S=0.5+0.25+0.125+……, 无穷级数是收敛的，和是有穷值。

悖论二（阿喀琉斯悖论）：阿喀琉斯追不上乌龟。S=1+0.1+0.01+0.001+……，同上

悖论三（飞矢不动悖论）：射出去的箭是静止的。

悖论四（基本空间和相对运动悖论）：两匹马跑的总距离等于一匹马跑的距离。错误在于把无穷小量当做了0，Δ≠2Δ。

当逻辑和我们的经验有了矛盾时，有两个结果，一个结果是我们的经验错了。还有一个可能性就是，我们看似正确的逻辑，本身可能有问题，因为有概念的缺失，芝诺的这两个悖论就属于第二种。

牛顿

：牛顿建立了微积分和导数机制，在物理学与数学领域取得了巨大的成功，但并没有清晰的定义无穷小量，引来了贝克莱的攻击。

为了研究函数的变化，牛顿发明了“流数”的概念（现称为导数），用以计算瞬时速度，即St图中某点的斜率，并以此建立了微积分。

这很好的解释了“飞矢不动”悖论，当Δt趋近于零的时候，箭头飞行的距离ΔS也趋近于零。但是它们的比值（速度）并不是零。

【导数】概念的提出，使得人类能够从掌握平均规律，进入到掌握瞬间规律。比如速度是位移曲线的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数，经济增长率是GDP的导数。

但在当时牛顿并没有清晰对无穷小量进行定义（Δt/ΔS），贝克莱大主教对此提出了质疑：无穷小的时间Δt到底是不是零啊？如果是零，它不能做分母，如果不是零，你的公式给出的还是一个平均速度，而不是瞬间速度。

微积分是以导数为基础的，而无穷小又是导数的逻辑前提和基础。如果无穷小这个基础本身出问题，在上面建立起来的所有大厦都可能被推翻。这引发了第二次数学危机。

柯西

：要准确定义无穷小，先要认识极限这个概念。

以斐波那契数列前后两项之比的黄金分割数为例，我们可以发现，首先极限是客观存在的，其次极限最大的特征是“无限逼近”，最后趋同。

从柯西，再到魏尔斯特拉斯，最终把以上认识用数学语言描述清楚了，他完全从数学本身出发，把微积分打造成一个严密的公理化系统。其中关键点在于对概念进行了动态的描述。

任意给一个小的数字ε，如果总能找到一个数字M，当N比M大之后，上面那个序列和2的差距小于ε。于是，我们就说上面那个序列的极限的是2。

其他：

【贝克莱】：虽然在中国课堂，他是唯心主义哲学家的代表人物，名言是“存在就是被感知”成为批判的对象，并被笑话为不懂微积分，孤立静止地看待世界。但在西方世界，贝克莱是很受尊敬的，他被认为是一位了不起的哲学家和学者，和约翰·洛克、大卫·休谟一同，被誉为经验主义哲学的三大代表人物。今天著名的加州大学伯克利分校里面“伯克利”三个字就是贝克莱的名字。

【微积分】的意义是，让人类的认知从静态或者宏观变化进入到把握瞬间动态变化和加速变化，这是人类认知的一大飞跃。

【柯西】是19世纪法国数学界的集大成者，他在法国数学史上的地位，犹如牛顿在英国，高斯在德国，我们今天所学习的微积分，其实并不是牛顿和莱布尼茨所描述的微积分，而是经过柯西等人改造过的，严格得多的微积分。

该笔记已整合入个人知识体系，详见 [笔记3](http://wangc.site/cbrain/share?nodeid=c2a06935efb5c9e8)