离散傅立叶变换中的真实频率信息

（录制的视频在： https://www.bilibili.com/video/BV1m14y1Y7wz/）  

我们做信号处理或者做数字通信的时候，经常会用到离散傅立叶变换，而离散傅立叶变换中，对每个离散的点，我们看到的都是下标（第几个点，即 index），例如，我们对时域中 256 个采样点 做离散傅立叶变换，我们只是知道下标 0,1,2... 等等，转到频域后，我们也是拿到 256 个频域信息，我们用大写的字母来表示频域信息，则我们拿到 。而我们有时候是关心频域中的  这个是对应哪个真实频率的，即是多少赫兹的频率下的？本篇短文用浅显易懂的文字来说明一下这个事情。

   我们知道，在连续傅立叶变换中，是有真实的频率信息的，下面是连续傅立叶变换的公式：

  我们很容易看到，上面公式中的 f  就是实际的频率，例如，我们关心 100Hz (Hz：赫兹) 频率下的信息，则把  f=100  代入上式：

不失一般性，我们假如拿到 N 个离散的时域信号，我们知道，可以用下面的离散傅立叶变换公式来计算频域的信息：

我们可以很容易猜测，上面公式中的  就隐含了频率的信息，那么如何才能得到频率信息呢？

这里，必需要先知道，我们拿到的离散的数据点，是按照什么样的采样率采集得到的，例如一秒钟采集 1000 个点，则采样率就是 1000，我们用  来表示采样率，表示一秒钟采集了   个样点。

则公式 (1) 中的 n，就可以转成具体的时间，即 ，这个时间单位就是秒，可以理解为是连续傅立叶变换公式中的 t .

那么在公式(1) 中，把 n 除以了 ，为了保持恒等，我们可以在  中乘以一个 ，则   变成  ，结合上面的讨论，可以把公式(1) 改写成如下形式：

仔细打量公式(2)，式子中的

     等同于连续傅立叶变换中的时间 t

   等同于连续傅立叶变换中的频率 f

连续傅立叶变换中的频率 f 是连续的，而离散傅里叶变换中的频率则是离散的，相邻的两个频率点分别为：     和      .  因此，离散傅立叶变换中，最小的频率间隔就是 .



下面举个例子：假如采样率为  25600赫兹，我们连续采样 256 个数据来做离散傅立叶变换，则变换到频域后，我们能看到的最小频率间隔为 ，即 100赫兹。如果采样前的信号，频率是 150赫兹的，则我们可以看到这个150赫兹没有落到100赫兹的整数倍上，经过离散傅里叶变换后，我们看到150赫兹周围相邻的整数倍的100Hz 上都有信号，那么，我们这个采样之后的频率分析就不是很准确，为了提高频率分析的精度，我们需要在时间上连续采样更多的数据，假如采样 512 个数据，则频率间隔就变成 ，即 50赫兹，频率精度就提高了一倍。

补充：

虽然采样频率是 ，且 ，但是，不等于频率范围是 从 。 根据那奎斯特采样定理，我们能采集到的频率，最大是 

. 所以，能表达的频率范围其实是：

另外，我们可以从线性空间正交基的角度来想一下。这些傅立叶变换，其实是 N 维空间中的变换。其正交基（暂时忽略单位向量的问题，即不考虑是否是单位正交基，即基向量的长度是否是 1，我们暂时忽略，感兴趣的朋友可以看我有一个视频是讲  “傅立叶变换前后能量守恒问题”）为：

其中：

所以，   这个频率，对应的是  这个频率. 我们画个图来直观感受一下为什么会这样。