巧做考研概统·图解法计算事件概率·臻宝-卡诺表

对于考研概统中计算事件概率，臻宝同志在卡诺图（用于逻辑运算的可视化方法）的基础上提出了一种图解法。以下通过几道例题来展示其思想：

如何用简洁的图形直观清晰的表达问题呢？——我们不妨将事件空间按这样的基本事件表格分解，这个与二变量的卡诺图是反着的，因为经研究发现，正逻辑在上时好像更符合直觉。（当然如果你觉得负逻辑在上顺眼就用负逻辑在上）

但此时标题行宽列宽、单元格面积此时还不能完全表示概率，除非标明数值。在未标明数值时，就默认一个正当中但不画⊥符号的十字，如果题目继续施加具体条件，则再做相应调整（见后续讲解）。

继续看这道题，

对于A选项和B选项，我们发现P(AB)可能=P(A)P(B)，但相关时，交线可能右斜也肯可能左斜，所以这俩选项都错。

对于C、D两个选项，我们发现矩形面积的不等式比较稳妥的就是同底不等高，很明显C对D错。

再来看一道：

它的图解几何意义是非常生动的：

P(A)=P(B)就是黑斜线和红色斜线这两个矩形面积相等，P(AB)是其公共面积，等价于令副对角线的两个矩阵面积相等，其他选项的几何意义也都是明确的。易得C对。

当我们熟练掌握以后，再来看条件概率的图解法怎么表示。

有的情况是条件概率给定数值，这个时候我们只需在对应单元格中标明数值。

如图，我们画完表格后，发现题目给定的条件等价于P(非A|B)=0，所以我们在其单元格中标明数值=0，

则P(A+B)这个阴影面积就一目了然的=P(A)的矩形面积，所以易得只有C对。

也有的题目的条件概率不能标明数值，求一个几何上的条件：

有同学在图中画下划线、？的这一步想不到。但这道题在臻宝-卡诺表格中的几何意义是生动的，我们引入条件概率的臻宝-卡诺图表示——缩圈+倾斜（如果相关）：

如图，条件概率P(A|B)，我们就把臻宝-卡诺表中的B的竖矩形拿出来，然后画一道A的横线，至于非A则不用标记，

因为要表示的是P(A|B)，它的大小就是上边P(AB)小矩形的面积/P(B)的大的竖矩形面积，但相比整个表格来说是“缩圈”了。然后P(A|非B)的表示同理。

我们发现如果令P(A|B)>P(A|非B)，当A是水平横线，需要令B的竖线倾斜，此时B的圈是个上宽下窄的梯形，梯形中两部分的大小在题目的选项就是P(B|A)>P(B|非A)。

文字解释比较长，但几何意义是一目了然的。

实不相瞒，当臻宝同志向我传授这一招术时，我盛赞臻宝大才。

再看一道：

续其解析：

这些代数过程都并不是很直观的，现在我们来看其在臻宝-卡诺表中的几何意义：

它们的几何意义都是直观简明的，D选项拐型中的上大下小，但两个拐头可能是B的竖矩形比A的横矩形面积大。在图中画的就是拐头的左下比右上胖一些。

至此，你应该非常信服臻宝-卡诺图的威力。接下来是更复杂的三变量情形。

注意，二变量时用的是反着的卡诺图，三变量时用正着的卡诺图。

“全集分解”正契合臻宝-卡诺图的思想。我们按照三变量卡诺图的形式画图如下：

请牢记该表格形式。然后我们填表：

等题目给的条件都填完了，就开始算数。有时候可能要填表的单元格比较多，如下：

为了更完整的展示步骤，我分步填表，以至于它看起来像是做一个简易的数独：

实际操作时在同一个表上陆续填就行。也就是说，我们把算术过程用图表语言表达。你也可以看到，由于三变量的卡诺图几何意义并不明显，所以它更侧重于算术。

如果说这个填表数独不能填完整，比如：

我们发现数表填到此时卡了一下，但没关系，这个题只要出了，条件一定是充分的，我们只需要顺着算数即可：

继续上一个表填表，然后算数：

如此以来，我们在三变量卡诺图的结构上可以看出，这种题目只需要填算至多不超过8个单元格的数即可，但通常远小于8个。