阿波罗尼斯圆原理证明

阿波罗尼斯圆:一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。

如图所示，P是平面上一动点，A、B是两定点，PA∶PB= m∶n ，M是AB的内分点(M在线段AB上)，N是AB的外分点(N在AB的延长线上)且

AM∶MB=AN∶NB=m∶n，则P点的轨迹是以MN为直径的圆。

下面先证明两个定理:

一、如图一，已知M是BC上一点，且AB∶AC=BM∶MC，

求证:AM平分∠BAC(三角形内角平分线定理的逆定理)

证明:过C点作CD∥AM交BA的延长线于D，则AB∶AD=BM∶MC

∵AB∶AC=BM∶MC，∴AB∶AD =AB∶AC，∴AC=AD，

∴∠D=∠3，∵CD∥AM，∴∠1=∠D，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AM平分∠BAC。

二、如图二，N是BC延长线上一点，BN∶CN=AB∶AC，求证:AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

证明:∵CD∥AN交AB于D，则BN∶CN=AB∶AD，∵BN∶CN=AB∶AC，∴AB∶AD=AB∶AC，AD=AC，∴∠3=∠4，∵DC∥AN，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∴∠1=∠2，∴AN平分∠BAC的邻补角∠EAC

有了上面的证明，阿波罗尼斯圆定理的证明就不难了，证明如下:

连结PM、PN，∵M为AB的内分点， PA∶PB=AM∶MB =m∶n，∴PM平分∠APB

∵N为AB的外分点，AN∶BN=PA∶PB =m∶n，∴PN平分∠BPE，

∵∠APB+∠BPE=180o，又∠2=∠APB/2，∠3=∠BPE/2，

∴∠2+∠3=(∠APB+∠BPE)/2

即∠MPN=90o，∴动点P到MN的中点O的距离等于MN(定值)的一半(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆