人工智能AI面试题-3.5 谈论梯度下降法

**3.5 谈论梯度下降法 🛤️📉** 嘿，梯度下降法（Gradient Descent）是机器学习中经常出现的一个算法，它能帮我们找到函数的局部极小值，也被亲切地称为"最速下降法"。可你知道这家伙到底是个啥玩意儿吗？ **梯度下降法**：🏞️ 梯度下降法是一种一阶最优化算法，用于寻找函数的局部极小值。它通过不断迭代搜索，以负梯度方向的规定步长距离点，来逼近函数的极小值点。如果你敢往梯度的正方向前进，那就会找到函数的局部极大值点，这叫做梯度上升法。额，梯度是什么呢？ **梯度**：📈 在单变量实值函数中，梯度就是导数；对于线性函数，它等同于线的斜率。 还不明白？别着急，我们可以用一个生动的例子来解释。假设我们正在建立一个房屋估价系统，要预测房屋价值，考虑到房屋的面积。这里，房屋面积就是一个特征（Feature），而房屋价值是我们的目标（Target）。 如果有一些已有的房屋销售数据，我们可以绘制一个图表，横轴是房屋面积，纵轴是房屋售价。如下：  现在，假设有一间房屋的面积是我们之前的数据中没有的，我们怎么预测它的价格呢？ 我们可以使用一条曲线来拟合这些数据，然后根据这个曲线上对应点的值来预测新房屋的价格。如果我们使用一条直线来拟合数据，可能如下图所示：  那些绿色的点就是我们想要预测的新房屋数据点。 现在，为了建立数学模型，我们引入一些概念和符号： - **房屋销售记录表（训练集）：** 这是我们的输入数据，通常用 x 表示。 - **房屋销售价钱：** 这是输出数据，通常用 y 表示。 - **拟合函数（假设或模型）：** 通常写作 y = h(x)。 - **训练数据的数量：** 通常用 n 表示。 - **输入数据的维度（特征数量）：** 通常用 #features 表示。 接下来，我们进行典型的机器学习过程。首先，我们有了一个输入数据，我们的算法会通过一系列步骤得到一个估计的函数，这个函数能够对未见过的新数据进行估计，也就是构建一个模型。 我们使用 X1，X2...Xn 来描述特征的分量，比如 x1 可以是房间的面积，x2 可以是房间的朝向等等。我们可以使用一个估计函数： h(x) = θ0 + θ1 * x1 + θ2 * x2 + ... + θn * xn 在这里，θ 是参数，代表每个分量对结果的影响力，就是确定房间面积和地段哪个更重要的问题。 如果我们令 X0 = 1，我们可以用向量的方式表示： X = [X0, X1, X2, ..., Xn] 接下来，我们需要一个机制来评估我们的 θ 是否好。为此，我们使用损失函数（Loss Function）来描述 h 函数的好坏程度，通常称为 J 函数。损失函数描述了 h 函数与实际值的差异程度。对于单一样本，这通常是误差的平方和，前面乘以系数 1/2 是为了方便求导。 J(θ) = 1/2 * (h(x) - y)^2 那么，如何调整 θ 以使 J(θ) 取得最小值呢？有很多方法，其中包括最小二乘法（最小平方法），以及我们今天的主角，梯度下降法。 **梯度下降算法流程**：🚶‍♂️ 1. 首先，给 θ 赋初值，可以是随机的，也可以是全零向量。 2. 改变 θ 的值，使 J(θ) 沿着负梯度的方向减小。为了更清晰地描述，看下面的图表：      这个图表示参数 θ 和误差函数 J(θ) 的关系。红色部分表示 J(θ) 较高的地方，我们需要的是能让 J(θ) 尽量低的地方，也就是深蓝色区域（最小化误差/损失）。θ0 和 θ1 表示 θ 向量的两个维度。   在前面提到的梯度下降法的第一步，我们给 θ 一个初始值，假设是图中的十字点。   接下来，我们调整 θ，使得 J(θ) 向着 更低的方向变化，如下图所示。算法结束时，J(θ) 下降到无法继续减小的地方。    当然，最终的梯度下降点可能不是全局最小点，而是局部最小点，如下图所示：  上图描述了一个局部最小点，这是在重新选择初始点后得到的，看来初始点的选择会在很大程度上影响我们的算法是否陷入局部最小点。 现在，让我们通过一个例子来说明梯度下降的过程。对于我们的函数 J(θ)，我们计算偏导数 ∂J/∂θ，然后使用以下更新过程，即θi 向着梯度最小的方向变化： θi = θi - α * ∂J/∂θi 一个重要的点是，梯度有方向，对于向量θ，每一维分量θi 都有一个梯度方向，我们可以找到一个整体的方向，在变化时，我们朝着最陡峭的方向前进，以达到最小点，无论是局部还是全局的。 希望这解释了梯度下降法的基本概念和原理。这是一个非常重要的算法，广泛用于训练机器学习模型，无论是线性回归还是深度神经网络。梯度下降法为我们提供了一种有效的方式，让我们的模型更好地拟合数据，找到最佳参数配置。👏🎢🧠