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定积分各种应用

2023-06-06 22:41 作者:~Sakuno酱  | 我要投稿

求弧长

第一种

y%3Dy(x)

%5Cmathrm%7Bd%7DS%20%3D%20%5Csqrt%7B(%5Cmathrm%7Bd%7Dx)%5E2%2B(%5Cmathrm%7Bd%7Dy)%5E2%7D

%3D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5Csqrt%7B1%2B(%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dy%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D)%5E2%7D

%3D%5Csqrt%7B1%2By'%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx

S%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%7B%5Csqrt%7B1%2By'%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D


第二种参数方程

x%3Dx(t)

y%3Dy(t)

%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3Dx'%5Cmathrm%7Bd%7Dt%0A

%5Cmathrm%7Bd%7Dy%3Dy'%5Cmathrm%7Bd%7Dt

%5Cmathrm%7Bd%7DS%20%3D%20%5Csqrt%7B(%5Cmathrm%7Bd%7Dx)%5E2%2B(%5Cmathrm%7Bd%7Dy)%5E2%7D

%3D%5Csqrt%7Bx'%5E2(%5Cmathrm%7Bd%7Dt)%5E2%2By'%5E2(%5Cmathrm%7Bd%7Dt)%5E2%7D

%3D%5Cmathrm%7Bd%7Dt%5Csqrt%7Bx'%5E2%2By'%5E2%7D

S%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%5Csqrt%7Bx'%5E2%2By'%5E2%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dt


极坐标

x%3Dr%5Ccos%7B%5Ctheta%7D

y%3Dr%5Csin%7B%5Ctheta%7D

%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dx%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta%7D%3Dr'%5Ccos%5Ctheta%20-r%5Csin%5Ctheta

%5Cmathrm%7Bd%7Dy%3Dr'%5Csin%5Ctheta%20%2Br%5Ccos%5Ctheta

(%5Cmathrm%7Bd%7Dx)%5E2%2B(%5Cmathrm%7Bd%7Dy)%5E2%3Dr'%5E2%2Br%5E2

%5Cmathrm%7Bd%7DS%3D%5Csqrt%7Br'%5E2%2Br%5E2%7D%20%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta


面积

极坐标

圆的面积是 %5Cpi%20r%5E2 

思考下弧度制下%5Ctheta的定义 弧度是弧长和半径的比值

所以有弧长 L_%7B%5Ctheta%7D%3Dr%5Ctheta 

再想一下圆的周长是 2%5Cpi%20r

既然圆是均匀的,那么扇形的面积和圆面积的比值一定等于弧长和圆周长的比值

所以

%5Cfrac%7BS%7D%7B%5Cpi%20r%5E2%7D%3D%5Cfrac%7BL_%7B%5Ctheta%7D%7D%7B2%5Cpi%20r%7D%3D%5Cfrac%7Br%20%5Ctheta%7D%7B2%5Cpi%20r%7D

所以

S%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Ctheta

%5Ctheta 非常小的时候,可以认为r 不变

所以曲线的面积等于

%5Cint_%7B%5Ctheta_1%7D%5E%7B%5Ctheta_2%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%5Cmathrm%7Bd%7D%5Ctheta


参数方程

直接变量代换 把x 看成关于 t 的函数

%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7Dy(x)%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%3D%20%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7Dy(t)%5Cmathrm%7Bd%7Dx(t)

%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7Dy(t)x'(t)%5Cmathrm%7Bd%7Dt  


旋转体体积

直角坐标系

x轴  当成无数个小圆柱的和

%5Cmathrm%7Bd%7DV%3D%5Cpi%20y%5E2%5Cmathrm%7Bd%7Dx

V%3D%5Cpi%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7Dy%5E2%5Cmathrm%7Bd%7Dx


参数方程 

也是变量代换 把x看成关于t的函数

%5Cmathrm%7Bd%7DV%3D%5Cpi%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20y(x)%20%5E2%5Cmathrm%7Bd%7Dx

%3D%5Cpi%20%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt%5E2%7Dy(t)%5Cmathrm%7Bd%7Dx(t) 其中x(t_1)%3Dx_1


做功


侧面积


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