【最后十课】数列-核心全梳理！2023高考冲刺！第3讲

数列

一.等差数列与等比数列的公式与性质★★

1.关于am+an=ar+as与S2n-1=（2n-1）an的运用

第一题：先转化得出a5的数值，然后再求S

第二题：对于第二题这种讨论Sn的最值类题目，我们通常是将其转化为an的正负来求解

2.关于aman=aras的运用

3.Sm的简单运用

答案：A

二.数列通项的核心求法★★★

1.累加法

2.累乘法

3.接受提示的构造法：对于题目给出需要证明的数列的题目，我们可以往待证的数列形式上面凑

两道例题

第一题解答

第二题解答

4.等价变形：对于递推公式较复杂，无法使用前三种方法的题目，我们可以采用

①因式分解（第二题）

②同除系数（第一题，第三题）

③统一形式的化简（第四题）

例题1中大下标没有与大系数相对应，因此我们可以采用同除系数法（同构）

例题2：本题直接给出了关于an的二次等式，因此我们优先考虑因式分解来求解

例题3：对于这种两项相乘的题目，我们直接同时除以anan+1进行求解

例题4：由于题目中即出现了对数又出现了指数，因此我们需要先将形式统一后再求通项

5.an与Sn混搭的处理

核心：Sn-Sn-1=an（注意前面必须为常数，否则通分！！！）

对于这类题目，转化为an还是Sn关键看题目要求什么，如果按照题目的提示转换无果再考虑转化为另一种形式

例题1,2答案

对于像例3这类题目，看似没有Sn，但是只要我们将等式左边进行换元为cn，便会发现其实就是Sn的展开式，因此要多多观察

对于例3第二问这种乘积式，我们完全可以把它坐商处理，要灵活多变

三.数列求和的基本方法★★★

1.等差，等比基本公式法

2.错位相减法（等差×等比）

对于等差×等比的求和，我们先对原式乘以等比数列的公比，然后做差即可

3.裂项相消法

对于分母各项之差有一定关系的分式，我们可以采用此方法

4.分组求和法

①分别求和再相加

对于an=bn+cn，且数列bn与cn的前n项和为Bn与Cn，那么我们求An便可利用An=Bn+Cn

②项数分组再相加

将an中的项按一定的规则分组有明显规律，则可以按项数分组再求和

例题

5.倒序相加法

若发现关于中间对称的两项相加好计算，则可倒序写一遍和式与原式相加

四.数列拔高题型

1.奇偶数列问题

对于一下情况，必须分奇偶

①含（-1）n

②通项为奇偶分段

③隔断的数列(an+2与an）

Ⅰ求通项

Ⅱ求和

第一类：奇偶项分开求和（奇+偶）

第二类：奇偶项合并求和（奇偶+奇偶）

2.单调性与最值问题

①作差（通过比较前一项与后一项的大小来判断数列的增减性）

②坐商（与作差法同理）

例题

恒成立问题一定要记住分离参数

③函数法

3.放缩求和

核心思想：将一个无法求和的数列放缩成可以求和的数列

对于例题1，我们发现它的形式非常像等比数列，因此我们将分母上的1拿去，构造不等关系完成放缩

对于例题2，我们不能直接把1去掉，但是它十分像等比数列，因此我们可以猜测它的公比为1/3，即

对于分式放缩，运用裂项相消来判断

4.去项和添项问题

核心：找临界

例题

我们先罗列，划去符合的项数

由于我们很轻松可以得到前几项的数值，因此我们现在的目标是求出最后一项

由于x80对应的b很难求，因此我们可以先求出b80对应的x

由于从第73项开始没有an的项数，因此直接往后数即可