MIMO 信道容量的数学推导（四）SIMO/MISO 分集 的信道容量

这个文章，我们来分析一下 SIMO 和 MISO 情况下的信道容量。我们从之前的两个结论出发：

(录制的视频在： https://www.bilibili.com/video/BV1K8411n728/ ）

公式 (1) 是发送方不知道信道矩阵的情况下的信道容量公式。

公式 (2) 是发送方知道信道矩阵情况下的信道容量公式。

SIMO （Single Input Multiple Output）

此时，信道矩阵是一个列向量：

我们知道

即秩为 1.则：

如果 |h_i|=1

则公式 (1) 就变成：

可见，随着接收天线数量的增加，信道容量呈对数增长。在 SIMO 情况下，即使发送方知道信道矩阵，由于只有一根天线，也不能做什么事情，对提高信道容量没有任何作用。用公式 (2)  来推导，一样可以得到公式 (3).

MISO( Multiple Output Single Input)

此时，信道矩阵是一个行向量：

我们知道

即秩为 1.则：

如果 |h_i|=1

(1) 发送方不知道信道矩阵

则公式 (1) 就变成：

可见，随着接收天线数量的增加，信道容量不增长。特别注意的是，这个时候，发送的总能量是1，因为秩是1，被分配的能量是 1.

(2) 发送方知道信道矩阵则公式 (2) 就变成：

可见，随着发射天线数量的增加，信道容量呈对数增长。

对比分析SIMO 情况与 MISO(发送方知道信道矩阵) 的情况，如果前者的接收天线数等于后者的发送天线数，则他们的信道容量是相同的。需要注意的是：对于 MISO(发送方知道信道矩阵), 其发射的总能量不是1，而是 M_T，是牺牲了发射功率来换取了相同的信道容量的。我们给的总能量，平均来看，是给每个发射天线一个单位功率  1. 但是在具体分配上，是用了 SVD 分解的矩阵 V 来做功率分配的。

因为秩为1，所以 我们只需要取 V 的第一列 V_1 ：

 是一个标量（复数），S 是一个列向量。 则 S 中各个元素被分配的能量就是：

的能量是 1， 则此时的信道容量是没有 SIMO 的高。为了达到与 SIMO 一样的信道容量，则  的能量是 M_T（ 当然，为了对比，此时的  ).

这与我们之前分析的发射分集与接收分集 的结论是一致的。

SIMO 相当于接收分集；MISO 相当于发射分集。