简论琵琶、五弦等乐器的声音电子合成

摘要：本文提出一种方法，用以模拟琵琶或五弦等乐器的音色。其要点在于采用激发源-滤波器的模型，其中与琴弦有关的参数影响了激发源，与面板和琴体乃至麦克风的空间位置有关的参数影响了滤波器。实践上采用倒谱分析的方法，对采样进行激发源和滤波器特征的分离，得到激发源的分量特征以及滤波器的频谱包络（频率响应曲线）。最后合成时，为使声音较为悦耳，可在数据允许的范围内，对分量特征和频率响应峰值进行人工微调。

迄今为止，我们发现鲜有令人满意的五弦琵琶音色库或VST。其主要原因在于，目前缺少质量上乘的正仓院式五弦琵琶单音的录音采样，而这主要归根于复原的该乐器价格依然十分昂贵，而吝啬的主人并不愿意（或是没有能力）进行良好的录音采样工作。雅乐琵琶（或唐琵琶）虽然价格稍低，但需求量很低，其音色库极少，质量虽然勉强尚可，但价格与实用价值并不匹配。如截取视频中的琵琶/五弦声音制作音色库，会面临压缩算法导致音色下降的问题，更有许多视频之中的乐器是钢弦竹品的改造“复原品”，其音色的参考价值较低。

因此，为了解决这些问题，我们必须从有限的样本之中分析出固定的声学特征，这些特征描画了该乐器的听觉辨识性。从理论上来说，一旦我们能够推知该乐器对空间任一位置任一反射环境的波形影响，那么这个任务就完全解决了。但是，实际上根据现有样本，这是难以解决的问题：原因在于不仅需要量化形状大小和内腔尺寸，还需对已有样本去空间混响，这显然是无法做到的，因为录音的音质不仅奇差，其录音室的尺寸参数也完全没有提及。因此此处我们需作一妥协：认为它们在滤波器频响曲线上有影响，但是因为难以推知，只在最后手动微调的时候考虑去除一些效果不佳的峰值。

我们现在进行影响因素分析：

在弦的方面，它给琴桥（覆手）输出一个激励波形，该波形与系统进行复杂的作用以后，则变成了琴桥的响应波形。推算激励波形的时候，其主要依据是弦振动方程，其中的主要参数有：弦的线密度，弦的张力，拨弦参数；次要参数有：空气阻力，刚度，原子耗散系数。我们忽略掉原子耗散系数，并把琴桥末端的阻力合计入空气阻力之中。而琴桥的响应波形，则是被琴桥的响应曲线和激励波形共同决定；因为弦受到的末端阻力与琴桥的响应曲线和响应波形有关，这里理论上可以使用迭代的手法进行复杂地求解。因为我们缺乏琴桥响应曲线的数据，以及为简化计算的缘故，使用琴桥响应波形相似于乐器振动的录音相位转过90度的假设，直接采用以余弦计算、并用经验修正分量强度的“琴桥垂直受力波形”来作为琴桥的响应波形。

这里有一个需要注意的问题：根据弦振动方程，末端的受力角度实际是不连续的：例如+1度持续半个周期，突然变成0，而后变成-1度半个周期；即使算进刚度项，这个问题也仍旧存在。所以，采用半经验的方法，采用数值分析得来的倍频强度An代入tan(theta)=求和An*Cos[2pi*fn*t]则是一条解决办法；与此类似的还有tan(theta)=求和n*An*Cos[2pi*fn*t],后者更接近“半经验修正”的原意，因为多出来的n来自于末端对空间求导时候产生的系数n。笔者更加偏向前者，一来是前者效果好，在最终合成结果里不产生金属杂音；二来是因为从样本的激发源数据推知的频谱分量强度，道理上讲就是激励项的分量强度。

在面板和腔体的方面，我们的面板为频响曲线贡献多个特征频率，腔体则是具备一个特征频率的亥姆霍兹共振器。影响面板的特征频率的因素有：杨氏模量、密度、厚度、泊松比，剪切模量，尺寸形状，背后的支撑，等等。影响腔体特征频率的因素则主要是腔体体积和开口。面板的特征频率，常能在滤波器的频响曲线中看到峰值，但也有部分缺失。推算面板特征频率的方式，一般是有限元法，这其中的近似，只是精度层面上的。推算腔体的特征频率，则有现成的公式。

于是我们得出了方法：

1、计算激发源波形（琴桥的波形响应/振动波形）：

定义:yn=弦振动方程解的（不带归一化系数8h/pi^2的）第n项时间部分=An*Cos[2*pi*fn*t].

其中fn是各项频率，后文给出公式。

定义拨弦参数：拨弦高度h，拨弦位置比例（占总弦长的比例）x，弦长L.

其中，如果按照传统弦振动方程，则An=Sin[a*pi*n]/n^2.

定义：基础弦张力T0，ES=杨氏模量*弦的截面积。

定义：yn_corr=被经验数据修正的yn。

激发源波形Ex=tan(theta)*T=求和[yn_corr]*(T0+[16ES*h^2/(pi^2*L^2*x*(1-x))]*求和[(yn_corr)^2] )；

例：T0=64.9N，[16ES*h^2/(pi^2*L^2*a*(1-a))]=2.51N.

定义：Inharmonic Constant: B=pi^2*ESI/(TL^2)=pi^2*E*a^4/(16TL^2). 其中a是截面半径。

定义：弦的阻尼常数c。例：c的常见范围是1.28（纯空气）到3.55（加算末端阻力）。

各项的频率fn=sqrt(f0^2*n^2*(1+B*n^2)-c^2/4),其中f0是无修正弦振动方程得出的基频，服从通常公式的计算。

2、应用滤波器频响曲线。

设滤波器频响曲线Resp为已知。

首先对激发源波形Ex进行傅里叶变换：

z=fft(Ex);

然后乘上频响曲线：

z1=Resp.*z;

最后反傅里叶变换得到输出：

output=real(ifft(z1));

注意要舍弃虚部。

得到的输出，常常会出现开头的数个周期波形在数据的尾端出现，故需要作图观察以后，将其校正回数据头部。

附：如何由样本得到激发源波形和滤波器的频响曲线：

设有样本x。求实倒谱得到u=rceps（x）。

算出x的基频所在的倒频率，对u截取小于这个倒频率一半或者3/4的头部部分u1，即是滤波器频响曲线的实倒谱；剩余基频对应的倒频率附近以及高于此值的尾部部分（记为u2），即是激发源。

而后u2进行傅里叶变换，取实部，指数化，最后反傅里叶变换，舍去虚部就得到对应的激发源。

ex=real(ifft(exp(real(fft(u2)))));

u1进行傅里叶变换，取实部，然后指数化，就得到滤波器的频率响应。

resp=exp(real(fft(u1)));

附：滤波器频响曲线的调整与人工修正：

频响曲线具备峰值，可以读出强度和频率。面板的特征频率应当和频响曲线的峰值对应。而面板的特征频率特征振型本身好似一个带阻尼的弹簧，适用于一个二阶常微分方程。因此我们能够容易地写出它的傅里叶变换或拉普拉斯变换。根据特征频率和峰值好像弹簧和二阶常微分方程的联系，就可以算出该特征频率下频率响应函数本身——注意这个是复值的，或者说补全了相位响应信息。

由此一来，可以将每个频响曲线的峰值和特征频率分解成一个小的“弹簧”共振器，再将其按照强度大小组合起来。对于面板的有限元分析预言了的、却未在频响曲线中发现峰值的特征频率和振型，也可以依照频响曲线的对应值，给予一个强度数量来补全。腔体作为亥姆霍兹共振器的部分，也可以由此分析得到数据。

此时我们调节相对强度就可以改变这些共振器组的频率响应，进而改变整个频响曲线。无论是把改变后的频响曲线用于（2）中方法的数位合成，还是构造模拟实现进行模拟合成，都是方便的。

附：由样本激发的激发源的利用方式：

我们一般不直接利用这个激发源，因为它本身的高频杂音一般较多。因此我们用于分析倍频数据，拟定（1）之中用于修正yn的“经验数据”。

解释：为何人工修正部分数据是必要的？

原因在于样本的音质较差，且我们的目的是编制合适的音色，以供实用。数据分析提供了合理的乐器参考数据，在不失真允许的范围内，可以而且应当进行一定的人工修正，使得结果更加悦耳动听。

我们的琵琶和五弦常常使用调整定弦的方式来演奏不同的调式，此时会造成声学参数的少许改变；因此根据弦的特征频率，还可以增加频响曲线之中对应的共振峰。

由于一种调弦法的音色是具备整体性的，这启示我们在调整参数以及试听判断的时候，要按照调弦法来进行。

解释：如何解决左手按音、叩、弛一类问题？

左手按音和拨子的实音是不一样的。其发声机理略有不同，并不仅仅是音量的大小不一样。因此，它适用的激励模型肯定也有差别。例如上述的模型是普通拨弦，假定了弦上各点有初始位移却无初始速度；而按音既有初始位移，也有初始速度。但，参考钢琴弦模型的初始位移=0和初始速度不=0，会发现仅是声音之中倍频的系数和初始的相位有不同。

因此，我们也应当从这两部分入手，通过分析数据，修正频率分量的强度，以及加入相位因素，来解决这些演奏方法的问题。一言以蔽之，仍然是分析数据后的半经验性声音合成问题。

在缺少数据的情况下，可考虑通过F=kx^b的琴弦受力响应，使用其他乐器的数据，推知按音时刻弦上的速度分布。