【菲赫金哥尔茨微积分学教程精读笔记Ep94】函数极限例题（三）

这几次都是书上的例题，这次的题目对之前数列极限一个结论的推广，结论要记住，以后会反复用到——

54例题

e.当a>1时，lim loga x /x=0，x趋向于+∞时

1. 已知当a>1时，对数列lim loga n/n=0；

2. 那么，lim  loga n/（n-1）=lim （ loga n/n）lim [n/（n-1）]=0，即对于任意小数ε>0，存在自然数N，使得n>N>1，| loga n/（n-1）|<ε；

3. 对于任意x>0，必然存在N'，使得1<N'-1<x<=N'，则loga （N'-1）<loga x<loga N'；

4. 由3易得，x>1，loga x >0： loga x /x<loga N'/（N'-1）；

5. 复述定义：lim  loga x /x=0，x趋向于+∞时，即对于任意小数ε>0，存在Δ>0，当x>Δ>1时， loga x /x<ε；

6. 由4,5，只要使 loga x /x<loga N'/（N'-1）<ε成立即可，由2可知，只要x>N'-1>=N+1>N>1，不等式即可满足，所以取定Δ=N+2>3即可。

当a>1，k>0时，lim loga x/x^k=0，x趋向于+∞时

证——

1. lim loga x/x^k

   =（1/k）lim loga x^k/x^k

   =（1/k）*0=0.

到这里！