【阅前提示】本篇出自『数理化自学丛书6677版』，此版丛书是“数理化自学丛书编委会”于1963-1966年陆续出版，并于1977年正式再版的基础自学教材，本系列丛书共包含17本，层次大致相当于如今的初高中水平，其最大特点就是可用于“自学”。当然由于本书是大半个世纪前的教材，很多概念已经与如今迥异，因此不建议零基础学生直接拿来自学。不过这套丛书却很适合像我这样已接受过基础教育但却很不扎实的学酥重新自修以查漏补缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我写的注解。

【山话嵓语】我在原有“自学丛书”系列17册的基础上又添加了1册八五人教中学甲种本《微积分初步》，原因有二：一则，我是双鱼座，有一定程度的偶双症，但“自学丛书”系列中代数4册、几何5册实在令我刺挠，因此就需要加入一本代数，使两边能够对偶平衡；二则，我认为《微积分初步》这本书对“准大学生”很重要，以我的惨痛教训为例，大一高数第一堂课，我是直接蒙圈，学了个寂寞。另外大学物理的前置条件是必须有基础微积分知识，因此我所读院校的大学物理课是推迟开课；而比较生猛的大学则是直接开课，然后在绪论课中猛灌基础高数（例如田光善舒幼生老师的力学课）。我选择在“自学丛书”17本的基础上添加这本《微积分初步》，就是希望小伙伴升大学前可以看看，不至于像我当年那样被高数打了个措手不及。

第三章整式 

§3-3多项式

1、多项式的概念

【01】让我们来观察下面这些代数式：  。这些代数式里，因为都没有用字母做除数，所以它们都是整式，但是它们都含有加减运算符号，所以它们都不是单项式。

【02】我们可以把这些代数式看做是几个单项式的代数和，例如：a＋3 是 a 和＋3 的代数和； x－y是 x 和－y 的代数和；－x²＋xy＋3y² 是－x²，＋xy 和＋3y² 的代数和； 是  和－5 的代数和。

【03】我们把几个单项式的代数和叫做多项式。

2、多项式的项

【04】在多项式里的每一个单项式，叫做这个多项式的项。根据多项式里所含有的项的个数，就叫这个多项式是几项式。例如，在上面这些多项式里，a＋3 和 x－y 都是二项式；－x²＋xy＋3y²是三项式； 是四项式。

【注意】多项式中的项，是包括它前面的正负号的。例如 x－y 的两项是 x 和－y，不能说是 x 和 y  。

3、多项式的次数

【05】在二项式 a＋3 里，第一项 a 的次数是 1，我们把它叫做一次项，＋3 没有字母，我们把它叫做常数项（或者叫做零次项），这里次数最高的项是一次项。

【06】在三项式 3x²－5x－1 里，第一项 3x² 的次数是2，我们把它叫做二次项，－5x 是一次项，－1 是常数项，这里次数最高的项是二次项。

【07】在四项式  里，次数最高的项是三次项－3x²  。

【08】我们把一个多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。多项式的次数是几的，就叫做几次多项式。

【09】例如：a＋3 是一次式；3x²－5x－1是二次式； 是三次式。

【10】又如：x³－x²y＋xy²－y³，它的四项的次数都是 3，它是关于 x 与 y 的三次式。

4、多项式的整理

【11】为了便于运算，通常我们总要把一个多项式，按照一定的次序，整理成整齐而简洁的形式。多项式的整理，一般包括两个内容。

(ⅰ)排幂：

【12】我们来看多项式 x²－2－5x＋3x³，它是四个单项式 x²，－2，－5x，＋3x³ 的代数和，这里第一项的次数是 2，第二项是常数项（或者说它的次数是 0），第三项的次数是 1，第四项的次数是 3  。为了把它整理成整齐形式，通常我们应该按照各项次数从大到小或者从小到大的顺序，把它们重行排列起来。这种整理方法叫做排幂。

【13】例如：多项式 x²－2－5x＋3x³ 可以重行排列成 3x³＋x²－5x－2……(1)  或者。－2－5x＋x²＋3x³……(2)  两种形式。

【注】在有理数这一章里，我们已经知道，在加法运算中，可以交换加数的前后次序（加法交换律）。代数式里的字母都表示数，每个单项式表示的也就是数，所以我们可以象有理数加法一样，交换多项式里各项的先后次序。

【14】我们看到，在(1)中，各项是按照字母 x 的幂的指数从大到小的顺序来排列的，这种排列方法，叫做按这个字母的降幂排列；在(2)中，各项是按照字母 x 的幂的指数从小到大的顺序来排列的，这种排列方法，叫做按这个字母的升幂排列。

例1.依照 x 的降幂排列，整理下列两个多项式：(1) x²－2－5x⁴＋3x³；(2) 3－4x＋5x⁶－4x⁵＋x²－x³  。

【解】整理后，得：

(1)－5x⁴＋3x³＋x²－2；(2) 5x⁶－4x⁵－x³＋x²－4x＋3  。

【注意】多项式中的项，是包括它前面的性质符号的。在排幕时，每一项的性质符号仍须看作是这一项的一个部分而一起移动。如果原来的第一项省略掉性质符号“＋”，搬到后面时就要补上这个“＋”号；如果原来的中间项搬到第一项而性质符号是正的，也可以省略掉这一“＋”号，但性质符号“－”不能省略。

例2.按的降幂排列整理下列多项式：(1) a³－3ab²＋5b³－6a²b；(2)－3ab＋b²－3a²  。

【解】整理后，得(1) a³－6a²b－3ab²＋5b³；(2)－3a²－3ab＋b²  。

例3.按 x 的升幂排列整理下列多项式：(1) x²－3x³＋5c－7；(2) y³－3x²y＋2xy²＋x³  。

【解】整理后，得(1)－7＋5x＋x³－3x³；(2) y³＋2xy²－3x²y＋x³  。

(ⅱ)合并同类项：

【15】我们来看多项式 3a²b－5ab²＋3a²b＋ab²＋a²b²  。它是五个单项式3a²b，－5ab²，＋3a²b，＋ab²，＋a²b² 的代数和。这些单项式都只含有两个字母，就是 a 和 b，并且：

【16】第一项 3a²b 和第三项 3a²b，a 的幂的指数都是 2，b 的幂的指数都是 1，系数也相同，这两个项是完全一样的。

【17】第二项－5ab² 和第四项 ab²  。a 的幂的指数都是 1，b 的幂的指数都是 2，这二项里只有系数不相同。

【18】多项式里具有这种性质的两个或几个项，叫做同类项。例如第一项 3a²b 和第三项 3a²b 是同类项，第二项－5ab² 和第四项 ab² 也是同类项。一般地说，多项式里的某些项，如果彼此完全没有差别，或者彼此只有系数不同，那末这些项就叫做同类项。

【19】常数项和常数项也是同类项。

【注意】多项式里的两个项虽然所含字母相同，但是相同字母的幂的指数不同，就不是同类项。例如 3a²b 和 3ab² 就不是同类项，3a²b 和 3a²b² 也不是同类项。

【20】在一个多项式里，同类项可以根据乘法对于加法的分配律，把它们合并成一项，例如：

【21】因此，根据加法的交换律和结合律，上面所提出的这个多项式可以写成 (3a²b＋3a²b)＋(－5ab²＋ab²)＋a²b²  。再合并同类项，把它化简成 6a²b－4ab²＋a²b²  。

【22】把多项式里的同类项合并成一项，叫做合并同类项，从上面的例子得到合并同类项法则：合并同类项，只要把系数相加，所得的和作为系数（字母部分连同它们原来的指数仍旧不变）。

例4，整理下列多项式：5x⁴－3x²＋6－7x³＋12x⁴＋10x³＋2x²－3x³＋7＋10x  。

【解】先按 x 的降幂排列，再合并同类项：

【注意1】为了便于整理，我们可以在同类项下面用横线记号标明，这样就不至于重复或遗漏。

【注意2】－7x³＋10x³－3x³＝(－7＋10－3)x³＝0·x³＝0，这一项没有了，因为 0 乘任何数等于 0  。

例5.整理下列多项式：2a⁴－8a²b²－ab³＋5a³b＋3a⁴＋6ab³＋5b⁴＋8a²b²  。

【解】按 a 的降幂排列，再合并同类项：

原式＝2a⁴＋3a⁴＋5a³b－8a²b²＋8a²b²－ab³＋6ab³＋5b⁴＝5a⁴＋5a³b＋5ab³＋5b⁴  。

【说明】－8a²b²＋8a²b²＝0，这项没有了。

习题3-3

1、说明下列多项式是几项式，是几次式，并指出它的次数最高的项和常数项：

2、整理下列多项式，按 a 或 x 的降幂排列：

3、合并下列多项式里的同类项：

4、整理下列多项式：

5、求当 x＝0.1 时，下列各式的值：

[提示：先整理多项式，再行代入，]【(1) 0.525，(2) 7.111】